Quadriche

La sfera di centro e di raggio è il luogo di punti di equazione:

Un cono è una superficie per ogni punto della quale passa una retta tutta contenuta nella superficie e passante per un punto fisso , detto vertice del cono. Le rette si dicono generatrici del cono, mentre una curva che interseca tutte le generatrici in un punto è detta direttrice del cono.

Un cono quadrico è un cono che è anche una superficie quadrica.

È il cono quadrico con vertice l'origine e come direttrice la circonferenza di raggio centro giacente nel piano

Chiamiamo cilindro una superficie per ogni punto della quale passa una retta di direzione assegnata tutta contenuta nella superficie. Le rette si dicono generatrici del cilindro, mentre una curva che interseca tutte le generatrici in un punto è detta direttrice del cilindro.

Un cilindro quadrico è un cilindro che è anche una superficie quadrica.

È un cilindro quadrico con generatrici parallele all'asse e direttrice la circonferenza di raggio centro giacente nel piano

Data una curva e una retta la superficie descritta da i punti di durante una rotazione di attorno alla retta si dice superficie di rotazione generata da e si dice asse di rotazione.

Le quadriche di rotazione sono le superfici quadriche che sono anche superfici di rotazione.

Un isometria su è una funzione che rispetta la distanza tra i punti

Un isometria lineare di è una trasformazione lineare tale che:

Le proprietà delle isometrie lineari sono:

• Preserva la norma
• Preserva gli angoli
• Preserva la distanza tra i punti

Dato un vettore , la traslazione è una funzione definita ponendo: Se il vettore allora la traslazione non è lineare poiché , tuttavia le traslazioni sono comunque isometrie

Una rototraslazione è un'isometria lineare seguita da una traslazione. Sia una rototraslazione con isometria lineare (rotazione) e l'isometria non lineare (traslazione). Sia la matrice di (rotazione) nella base canonica. Allora

Proprietà:

• siccome è un isometria lineare, è ortogonale.
• L'isometria lineare è anche detta parte lineare di .
• Si può dimostrare che tutte le isometrie del piano o dello spazio sono rototraslazioni.

La composta di due isometrie e è ancora un isometria