Forma canonica

Note

Ogni quadrica può essere spostata con una rototraslazione in una particolare forma detta forma canonica della quadrica.

Matrice di una quadrica

Note

All'equazione di una quadrica si associa la matrice: dove è la matrice di Gram di e quindi L'equazione si può scrivere come Si omogeneizza il polinomio: è quindi una forma quadratica in

Equazione della rototraslazione di una quadrica

Note

Se è una quadrica di equazione e è una rototraslazione, allora la quadrica ha equazione:

Sia una quadrica, una rototraslazione e la matrice di . Allora la matrice di è

Calcolo della forma canonica

Il metodo consiste nel modificare l'equazione della quadrica in due passaggi moltiplicandola per un fattore non nullo oppure effettuando una rototraslazione. In genere si applicano due procedimenti:

  • Diagonalizzazione
  • Eliminazione dei termini lineari

Data l'equazione della quadrica
Allora

  • La diagonalizzazione consiste nella diagonalizzazione della matrice e l'effetto è quello di eliminare i termini con dall'equazione.
  • L'eliminazione dei termini lineari consiste in una traslazione e l'effetto è quello di eliminare dall'equazione termini del tipo .
  • La forma canonica è quella che si ottiene eliminando tutti i termini con e il maggior numero possibile di termini lineari.
Eliminazione dei termini lineari

Effettuiamo la traslazione che manda il centro nell'origine degli assi
La matrice dell'equazione diventaL'equazione della quadrica traslata è $$p'(X)=X^{T}A_{0}X+f'=0

Se vogliamo calcolare solo $f'$: - Se $\det(A_{0})\neq0$ $$f'=\frac{\det(A')}{\det(A_{0})}$$ - Se $\det(A_{0})=0$ $$f'=p'(0)=p(T_{c_{0}}(0))=p(c_{0})$$ ##### Diagonalizzazione Siccome $A_{0}$ è una matrice simmetrica sappiamo che $A_{0}$ ammette una matrice modale $M_{0}$ ortogonale, abbiamo dunque che $$M_{0}^{T}A_{0}M_{0}=M_{0}^{-1}A_{0}M_{0}=\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0&\cdots&0\\0&\lambda_{2}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_{n}\end{pmatrix}$$ Si effettua l'isometria lineare $$\begin{pmatrix}R(X)\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}M_{0}^{-1}&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\1\end{pmatrix}$$ $$A''=\begin{pmatrix}X^{T}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0&\cdots&0\\0&\lambda_{2}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X\\1\end{pmatrix}$$ che corrisponde all'equazione $$\sum\limits\lambda_{i}X_{i}^{2}+f'=0$$ ### Quadriche con centro di simmetria >[!note] >Sia $A=\begin{pmatrix}A_{0}&q\\q^{T}&f\end{pmatrix}$ la matrice di una quadrica $Q$. Una quadrica con centro di simmetria è una quadrica tale che esiste una soluzione $c_{0}$ di $$A_{0}X+q=\overrightarrow{0}$$ >E il punto $c_{0}$ è un centro di simmetria della quadrica. > >Siano quindi $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{r}$ gli autovalori positivi, e $\mu_{1},\cdots,\mu_{s}$ gli autovalori negativi. Negando gli autovalori negativi l'equazione diventa $$\sum\limits_{i=1}^{r}\lambda_{i}x^{2}_{i}-\sum\limits_{i=1}^{s}-\mu_{i}x_{i}^{2}=-f'\qquad \lambda_{i}>0,-\mu_{i}>0$$ > >Questa equazione è detta forma canonica della quadrica con centro di simmetria ### Quadriche senza centro di simmetria >[!note] >Se $A_0X+q$ non ha soluzione, si decompone $q$ rispetto a $R(A)$ (decomposizione ortogonale) $$\mathbb{R}^{n}=R(A_{0})\oplus R(A_{0})^{\perp}=R(A_{0})\oplus N(A_{0}^{T})=R(A_{0})\oplus N(A_{0})$$ >Siccome la matrice è simmetrica, allora $A^{T}=A$ e quindi $N(A_0)=N(A_0^T)$. La decomposizione ortogonale del vettore $q$ è $$q=q_{0}+q_{1}\text{ con }q_{0}\in N(A_{0}),q_{1}\in R(A_{0})$$ > >Se $c_{0}$ è una soluzione di $A_{0}X+q_{1}=\overrightarrow{0}$, allora si trasla $c_{0}$ nell'origine e la matrice traslata diventa: $$\begin{pmatrix}A_{0}&q_{0}\\q_{0}^{T}&f'\end{pmatrix}$$ >Si calcola una matrice modale ortogonale $M_{0}$ di $A_{0}$ e si trasforma la quadrica con l'isometria lineare $R(X)=M_{0}^{T}$. La matrice si trasforma in $$\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0&\cdots&0&b'_{1}\\0&\lambda_{2}&\cdots&0&b'_{2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_{n}&b'_{n}\\b'_{1}&b'_{2}&\cdots&b'_{n}&f'\end{pmatrix}$$ ### Teorema della rototraslazione delle quadriche >[!note] >Ogni quadrica può essere portata con una rototraslazione in una quadrica con equazione in una delle tre seguenti forme: >- Se $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_{0})$: $$\sum\limits_{i=1}^{r}\lambda_{i}x_{i}^{2}-\sum\limits_{i=1}^{s}\mu_{i}x_{i+r}^{2}=0\qquad \lambda_{i}>0,\mu_{i}>0$$ >- Se $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_{0})+1$: $$\sum\limits_{i=1}^{r}\lambda_{i}x_{i}^{2}-\sum\limits_{i=1}^{s}\mu_{i}x_{i+r}^{2}=c\qquad c\neq0,\lambda_{i}>0,\mu_{i}>0$$ >- Se $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_{0})+2$: >$$\sum\limits_{i=1}^{r}\lambda_{i}x_{i}^{2}-\sum\limits_{i=1}^{s}\mu_{i}x_{i+r}^{2}-cx_{r+s+1}=0\qquad c>0,\lambda_{i}>0,\mu_{i}>0$$ >[!tip] Conseguenze del teorema >- Se $M$ è invertibile allora $\text{rk}(AM)=\text{rk}(A)=\text{rk}(MA)$ >- Se si rototrasla una quadrica con la rototraslazione $R(X)=M_{0}X+v$ allora la sua matrice $A$ si trasforma in $A'=(M^{-1})^{T}AM^{-1}$ dove $M$ è la matrice di $R$. Inoltre $A_{0}'=M_{0}A_{0}M_{0}^{T}$, ne segue che il rango di $A$ e $A_{0}$ non cambiano. >- Per calcolare esattamente la forma in cui corrisponde una quadrica non è necessario calcolare gli autovettori ma solo gli autovalori: > 1. Se $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_{0})$ si è nel primo caso e bastano gli autovalori. > 2. Se $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_{0})+2$ si è nel terzo tipo e bastano gli autovalori poiché $c=2||q_{0}||$ > 3. Se $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_{0})+1$ e > - $\det(A_{0})\neq0$ bastano gli autovalori poiché $c=-\frac{\det(A)}{\det(A_{0})}$ > - $\det(A_{0})=0$ allora oltre agli autovalori si calcola un centro $c_{0}$ e $c=-p(c_{0})$