Classificazione affine delle quadriche

Invarianti metrici

Note

Data l'equazione di una conica, sia la sua matrice: Gli invarianti metrici della conica sono:

Invariante cubico
Invariante quadratico
Invariante lineare

Gli invarianti metrici rimangono invariati se si applica una rototraslazione alla conica.

Coniche

Coniche non degeneri

Condizione	Nome
	Ellisse immaginaria
	Ellisse
	Iperbole
	Parabola

Coniche degeneri

Condizione	Nome
	Ellisse degenere (un punto)
	Iperbole degenere (due rette incidenti)
	Retta doppia
	Rette parallele
	Rette immaginarie

Nei casi degeneri con gli invarianti metrici non bastano: bisogna calcolare

Quadriche

La classificazione dipende dalla segnatura della forma quadratica che ha la matrice come matrice di Gram:

Quadriche non degeneri

Nome	Segnatura	Condizione
Ellissoide immaginario	o
Ellissoide	o
Iperboloide iperbolico	o
Iperboloide ellittico	o
Paraboloide iperbolico
Paraboloide ellittico

Quadriche con

Nome	Segnatura	Condizione
Un punto (cono immaginario)	o
Cono	o
Cilindro immaginario	o
Cilindro ellittico	o
Cilindro iperbolico
Cilindro parabolico	o

Quadriche con

Nome	Segnatura	Condizione
Una retta (due piani immaginari incidenti)	o
Due piani incidenti
Vuoto (due piani paralleli immaginari)	o
Due piani paralleli	o
Piano doppio	o

Coniche nello spazio

Una conica nello spazio viene descritta come l'intersezione di una quadrica con un piano non contenuto nella quadrica. Per riconoscere affinemente la conica è sufficiente eliminare un parametro dall'equazione della quadrica usando l'equazione del piano e classificare affinemente l'equazione che si ottiene.