Trasformazioni lineari

Note

Dati due spazi vettoriali e , una trasformazione lineare da in è una funzione tale che dati e :

Le trasformazioni lineari si indicano con la lettera maiuscola.

Tip

Ogni trasformazione lineare conserva il vettore nullo, cioè:

Data una matrice di dimensioni è una trasformazione lineare la funzione definita ponendo:

Tipologie particolari di funzioni

Funzione composta

Data una funzione e una funzione , la funzione è definita come e corrisponde a .

Funzione invertibile

Una funzione viene definita invertibile se esiste una funzione tale che E . Una funzione è invertibile solo se è biiettiva.

Nucleo e immagine

Note

In una trasformazione lineare i vettori del codominio sono i trasformati del dominio. Se è una trasformazione lineare, allora è chiamato nucleo di l'insieme: L'insieme immagine di una trasformazione lineare è

Il nucleo e l'immagine di una trasformazione lineare sono sottospazi vettoriali rispettivamente di e di .

  • Il nucleo di è lo spazio colonna nullo di :
  • L'immagine di è lo spazio colonna di :

Teorema della dimensione

Note

Come conseguenza del teorema di nullità più rango, se è una trasformazione lineare tra due spazi vettoriali e è di dimensione finita, allora:

  • è di dimensione finita.
Conseguenze del teorema della dimensione

Siano e spazi vettoriali di dimensione finita e una trasformazione lineare, allora:

  1. Se è iniettiva allora .
  2. Se è suriettiva allora .
  3. Se allora è iniettiva se e solo se è biiettiva.
  4. Se allora è suriettiva se e solo se è biiettiva.

Composta di trasformazioni lineari

Note

Se e sono trasformazioni lineari, allora è una trasformazione lineare.

Inversa di trasformazione lineare

Note

Se è una trasformazione lineare biiettiva (quindi invertibile) allora è lineare.

Per essere invertibile una matrice deve essere quadrata e con .
Inoltre vale anche