Isomorfismi

Isomorfismi

Note

Siano e spazi vettoriali. Un isomorfismo da a è una trasformazione lineare biiettiva.

Vettori e coordinate

Note

Sia uno spazio vettoriale di dimensione e sia una base di . Se è un vettore in allora è combinazione lineare degli elementi in : Il vettore è detto vettore delle coordinate di in e lo indichiamo con .

Sia quindi una base di e sia la dimensione di . Allora la funzione è un isomorfismo.

Sia uno spazio vettoriale di dimensione e uno spazio vettoriale di dimensione . Siano e basi rispettivamente di e . Data una trasformazione lineare, esiste un unica matrice di dimensione x tale che La matrice è detta matrice rappresentativa della trasformazione lineare nelle basi e e si indica con che è la matrice che ha per -esima colonna il vettore delle coordinate in dell'-esimo elemento di .

Matrici del cambiamento di base

Matrice del cambiamento di base

Sia uno spazio vettoriale di dimensione finita e siano e basi di . Sia un vettore in e siano e i vettori delle coordinate di nelle basi e rispettivamente, allora Per questo motivo la matrice è detta matrice del cambiamento di base.

Matrice della composizione di due trasformazioni lineari

Siano e due trasformazioni lineari. Fissiamo una base di una base di e una base di , allora:

Matrice dell'identità

Consideriamo l'identità , cioè . Se è una base di allora . Se e sono basi di allora è invertibile e

Matrice rappresentativa

Note

Sia una trasformazione lineare. Siano , basi di e , basi di , allora

Trasformazioni lineari diagonalizzabili

Note

Una trasformazione lineare si dice diagonalizzabile se esiste una base di in cui la matrice è diagonale. Inoltre è diagonalizzabile se e solo se in una qualsiasi base di è diagonalizzabile.