Rango

Note

La dimensione dello spazio colonna è detta rango di e la indichiamo con (numero colonne con pivot), quindi se è di dimensione :
Il rango è sempre minore del numero di righe e di colonne:

Spazio nullo

Note

Lo spazio nullo di una matrice è e lo si indica con (colonne senza pivot).

Immagine

Note

L'immagine di una matrice è lo spazio colonna della matrice e lo si indica con (colonne con pivot).

Nullità

Note

La dimensione dello spazio nullo è detta nullità di e si indica con (numero colonne senza pivot)

Teorema nullità più rango

Note

Considerata una matrice di dimensioni x Il teorema è un caso speciale di un teorema più generale detto teorema della dimensione.

Teorema del rango

Note

Il rango di una matrice è uguale al rango della matrice trasposta, in simboli:

Di conseguenza:

La dimensione dello spazio colonna è
Il numero massimo di colonne linearmente indipendenti è
La dimensione dello spazio riga è
Il numero massimo di righe linearmente indipendenti è
Il rango di di dimensioni x è minore o uguale a e

Calcolo del rango

Matrici numeriche

Note

Siccome il rango di una matrice di è la dimensione dello spazio riga per calcolare il rango basta ridurre a gradini la matrice. Il numero di pivot rimasti dopo la riduzione è il valore del rango

Matrici parametriche - Metodo di Kronecker

Note

Individuando un minore con determinante diverso da zero, e calcolando i determinanti di tutti i minori orlati di , se tutti i minori orlati di hanno determinante nullo allora il rango della matrice è di ordine .

Minore Orlato

Se è una matrice x e è un minore di di ordine , un minore orlato di è un minore di di ordine che si ottiene aggiungendo a una riga ed una colonna.