Matrici

Note

Una matrice può essere vista come una tabella di numeri reali composta da righe e colonne. Una matrice è un vettore i cui elementi sono anch'essi vettori, quindi un vettore di vettori. Si definiscono le operazioni di somma e prodotto per uno scalare:

Le matrici più importanti sono

  • Vuota:
  • Quadrata:
  • -vettore:
  • -vettore colonna:
  • Nulla: (ogni elemento della matrice è 0)
  • Identità: viene definita per matrici quadrate, ha tutti gli sulla diagonale principale ed il resto tutti , si indica con
  • Matrice a blocchi: una matrice è detta a blocchi quando si presenta nella forma dove e sono matrici quadrate

Prodotto riga per colonna

Note

Siano e matrici conformabili, si definisce il prodotto riga per colonna come: Pasted image 20240104153943.png

Matrici conformabili

Una matrice x è conformabile ad una matrice x se il numero di colonne di è uguale al numero di righe di .

Le dimensioni della matrice prodotto saranno il numero di colonne di e il numero di righe di .

In questa operazione valgono le proprietà associative e distributive, ma non vale quella commutativa:

Potenze di matrici quadrate

Consideriamo una matrice quadrata di ordine , grazie alla proprietà associativa la potenza ennesima è definita come:

Valgono le proprietà classiche delle potenze:

Sottomatrici e minori

Note

Viene definita sottomatrice di una matrice ottenuta togliendo alcune righe e colonne dalla matrice .

Se la sottomatrice è quadrata di ordine allora si chiama minore di ordine .

Il minore complementare dell'elemento è il minore che si ottiene togliendo ad la -esima riga e la -esima colonna.

Trasposta di una matrice

Note

La trasposta della matrice è la matrice che si ottiene scambiando righe e colonne, e si indica con

  • La matrice si dice simmetrica quando
  • La matrice si dice antisimmetrica quando

Si ha che

Determinante

Note

Il determinante di una matrice è un numero associato a ciascuna matrice quadrata , e ne esprime alcune proprietà algebriche e geometriche:

Il determinante ha le seguenti proprietà:

  • Alternanza: Se si ottiene da scambiando 2 righe tra di loro, allora
  • Multi linearità:
    • Se si ottiene da moltiplicando una riga per uno scalare , allora .
    • Se la -esima riga di è la somma di 2 vettori e allora , dove e sono le matrici con -esima riga i vettori termini della somma.
    • Si possono sommare e moltiplicare per un fattore le righe di una matrice e il suo determinante resterà uguale.
  • Normalizzazione:
  • Simmetria:
  • Formula di Bindet:
Determinante tramite regola di Sarrus
Note

Per calcolare il determinante di una radice quadrata è possibile applicare la regola di Sarrus:

  1. Sommare i prodotti lungo le prime diagonali complete da sinistra verso destra
  2. Sommare i prodotti lungo le ultime antidiagonali complete da destra verso sinistra
  3. Calcolare la differenza tra i risultati ottenuti al punto 1 e 2

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Warning

Il problema di questa tecnica è la sua difficile scalabilità computazionale, dato che per le matrici di ordine la formula del determinante è la somma di termini.

Determinante tramite sviluppo di Laplace
Note

Lo sviluppo di Laplace è una formula ricorsiva che riscrive il determinante di una matrice quadrata di ordine calcolando il determinante della matrice di ordine :

Questa formula ci dice di scegliere una riga/o una colonna, sommare gli elementi di quella riga/colonna tenendo conto del segno tramite metodo della scacchiera, scegliendo come elemento eliminato e moltiplicandolo al determinante della minore ottenuta rimuovendo la colonna e riga dell'elemento scelto.