Matrici diagonalizzabili

Note

Una matrice si dice diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale. Ciò significa che deve esistere una matrice invertibile, detta modale, tale che:

Matrici simili

Due matrici quadrate e si dicono simili se esiste una matrice invertibile tale che:

Matrice diagonale

Una matrice si dice diagonale se è quadrata e si presenta nella forma:

Autovalori e autovettori

Note

Sia una matrice quadrata di ordine , si dice che un numero è un autovalore per se esiste un vettore non nullo tale che .

Se è un autovalore di una matrice allora il vettore viene chiamato autovettore di relativo all'autovalore , viceversa se è un autovettore di allora viene chiamato autovalore relativo all'autovettore .

Polinomio caratteristico

Sia una matrice quadrata di ordine . La funzione di una variabile reale è un polinomio di grado che è chiamato polinomio caratteristico di . Lo si indica con .

Gli autovalori di sono le radici del polinomio caratteristico di . è autovalore di se e solo se:

L'insieme delle soluzioni del sistema lineare è detta autospazio relativo all'autovalore . L'autospazio è l'insieme di tutti gli autovettori relativi a unito con .

Molteplicità geometrica

La dimensione dell'autospazio viene chiamata la molteplicità geometrica dell'autovalore e si indica con

Molteplicità algebrica

Se è un polinomio e sono tutte le sue radici distinte con e un polinomio senza radici allora l'esponente è detto la molteplicità algebrica della radice . Lo si indica con .

Il rapporto fra la molteplicità algebrica e geometrica è Un autovalore si dice semplice se e si dice regolare se .

Criteri di diagonalizzazione

Se una matrice quadrata di ordine ha autovalori distinti allora la matrice è diagonalizzabile.
Una matrice quadrata di ordine è diagonalizzabile se e solo se la somma delle molteplicità algebriche è e ogni autovalore è regolare.

Per diagonalizzare verifico i criteri, poi costruisco la matrice modale inserendo gli autovettori nelle colonne. Moltiplico poi questa matrice per una matrice la cui diagonale ha gli autovettori relativi alla stessa colonna della matrice modale. Infine moltiplico per l'inversa della matrice modale.