Retta

Sia il vettore libero rappresentato dal segmento . Il vettore differenza è Che ha norma .

Dato un punto e un vettore libero si indica con il punto tale che: Se ha coordinate e allora

Sia un punto nel piano o nello spazio e fissiamo un vettore libero . La retta che passa per la cui direzione è determinata da può essere descritta come l'insieme di punti: Questa equazione è detta forma vettoriale della retta . Si noti che

Esplicitando Sostituiamo nella forma vettoriale della retta e si ottiene

Nel piano la retta passante per due punti è una sola:
Dati due punti e possiamo esprimere la retta come un vettore direzione che congiunge i due punti e un punto stesso Nello spazio devo considerare tre vettori e un punto per descrivere la retta

Data una retta sia un vettore normale alla retta.
Fissato un punto di passaggio abbiamo che un punto sta sulla retta se e solo se è ortogonale a . Otteniamo quindi l'equazione che è detta forma normale della retta.
In simboli L'equazione cartesiana quindi è

Una retta può anche essere espressa come intersezione di due piani, quindi come insieme delle soluzioni del sistema: Con la condizione che il sistema abbia soluzione, quindi