Piano

Note

Fissiamo un punto sul piano e due vettori e non paralleli pere cui le rette passanti per aventi direzione e giacciono sul piano. Questa è detta forma vettoriale del piano e i vettori e sono detti direzioni del piano. Di fatto abbiamo definito il piano come la combinazione lineare di due vettori applicati su un punto:

Equazione parametrica del piano nello spazio

Note

Esplicitando Sostituiamo nella forma vettoriale del piano e si ottiene

Per verificare che sia un piano basta calcolare

Forma normale di un piano nello spazio

Note

Fissiamo un punto appartenente al piano e sia un vettore normale al piano. Un punto sta sul piano se e solo se: Pasted image 20240109131459.png

Equazione cartesiana di un piano nello spazio

Note

Se esplicitiamo allora la forma normale diventa Se poniamo troviamo l'equazione cartesiana del piano nello spazio. sono detti parametri direttori.

Piano passante per tre punti non allineati

Note

Dati tre punti non allineati (vettori associati linearmente indipendenti)

  • Equazione parametrica
  • Equazione cartesiana
    Valori per cui Se il determinante è nullo i tre punti sono allineati.

Fascio di piani

Note

L'insieme dei piani passanti per una retta è detto fascio di piani di centro
Se la retta ha equazione Allora un piano di equazione appartiene al fascio di piani di centro se e solo se Da cui otteniamo Questa equazione è detta equazione del fascio di piani in quanto al variare di descrive tutti i piani appartenenti al fascio.

Example

Considero il punto e la retta Il piano cercato appartiene al fascio di piani con centro e quindi la sua equazione ha forma Imponiamo il passaggio per e troviamo
Ponendo (deve essere diverso da 0) si trova , quindi l'equazione del piano è