Distanza fra spazi affini

Note

Indichiamo con la distanza tra due punti, quindi: Dati due spazi affini nel piano o nello spazio si definisce la distanza come la minima distanza tra i punti di e quelli di . In simboli Se e sono spazi affini con giaciture rispettivamente allora:

Distanza punto-retta nel piano

Note

Sia la retta di equazione . Siccome è un vettore normale alla retta allora la distanza da a è: Esplicitando , , :

Distanza punto-piano

Note

Consideriamo un punto e un piano in , la formula della distanza diventa

Distanza piano-piano paralleli

Note

Considero due piano paralleli :
La formula della distanza tra i due piani paralleli è

Distanza retta-retta sghembe

Note

Date due rette sghembe in forma vettoriale: Si ha che la minima distanza tra le due rette è la proiezione di lungo un vettore ortogonale sia a che a
Da questa osservazione si ricava la formula generale

Se consideriamo le rette in forma parametrica: Allora la formula diventa

Distanza punto-retta nello spazio

Note

Dato un punto e una retta in forma vettoriale , allora la distanza del punto dalla retta è data da: Dove è l'angolo minimo tra i vettori e .
La formula per trovare la distanza punto retta in è

Principio di ortogonalità

Note

Sia uno spazio vettoriale e sia un prodotto scalare su .
Sia un sottospazio di . Allora, dato , il vettore che minimizza la distanza da è la proiezione ortogonale di su . Questo vettore è unico ed è definito come