Prodotto vettore

Note

Il prodotto vettore di due vettori $v$ e $w$ nello spazio è il vettore $v\wedge w$

• La norma è $||v||||w||\sin (\theta )$ dove $\theta$ è l’angolo minimo tra i due vettori.
• La direzione è quella ortogonale sia a $v$ che a $w$
• Il verso è determinato dalla regola della mano destra

Proprietà:

• Antisimmetrica: $v\wedge w=-w\wedge v$
• Omogeneità: $kv\wedge w=k(v\wedge w),v\wedge kw=k(v\wedge w)$
• Distributività: $(v+w)\wedge u=v\wedge u+w\wedge u,v\wedge (w+u)=v\wedge w+v\wedge u$

Basi orientate sinistrorse e destrorse

La $n$-upla $\{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\cdots \}$ di $n$ vettori nel piano/spazio è detta base orientata.

Una base orientata $\{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\}$ viene detta:

• Destrorsa se l’angolo minimo viene percorso in senso antiorario da $\overrightarrow{i}$ a $\overrightarrow{j}$
• Sinistrorse se l’angolo minimo viene percorso in senso antiorario da $\overrightarrow{j}$ a $\overrightarrow{i}$

Una base orientata $\{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\}$ è detta:

• Destrorsa se $\overrightarrow{k}=\overrightarrow{i}\wedge \overrightarrow{j}$
• Sinistrorsa se $\overrightarrow{k}=\overrightarrow{j}\wedge \overrightarrow{i}$

Espressione analitica del prodotto vettore

L’espressione analitica del prodotto vettore tra

$$v=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}w=x^{\prime }\overrightarrow{i}+y^{\prime }\overrightarrow{j}+z^{\prime }\overrightarrow{k}$$

• Destrorsa

v\wedge w=(yz'-y'z)\overrightarrow{i}-(xz'-x'z)\overrightarrow{j}+(xy'-x'y)\overrightarrow{k} $$ - ##### Sinistrorsa

v\wedge w=(yz'-y'z)\overrightarrow{i}+(xz'-x'z)\overrightarrow{j}-(xy'-x'y)\overrightarrow{k}
$$

Tip

Siccome la formula non è comoda da ricordare si può imparare, usando un abuso di notazione, come determinante della matrice $3$x$3$

• Destrorsa:

$$v\wedge w=\det \left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x& y& z\\ x^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }\end{array}\right)$$

• Sinistrorsa:

$$v\wedge w=-\det \left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ x& y& z\\ x^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }\end{array}\right)$$