Sottospazio vettoriale

Note

Un sottospazio di uno spazio vettoriale $V$ è un sottoinsieme non vuoto $W$ di $V$ tale che:

• Se $v,w$ sono in $W$ allora anche $v+w$ è in $W$ (chiuso alla somma)
• Se $v$ è in $W$ e $t$ è un numero allora $tv$ è in $W$ (chiuso rispetto al prodotto per scalare)

Tip

• Se $V$ è uno spazio vettoriale allora $V$ è sottospazio di se stesso e $\{\overrightarrow{0}\}$ è un sottospazio di $V$.
• Il vettore $\overrightarrow{0}$ appartiene ad ogni sottospazio.
• Ogni proprietà che vale per gli spazi vettoriali vale anche per tutti i sottospazi.

Combinazioni e dipendenza lineare

Note

In uno spazio vettoriale si dice che il vettore $v$ è combinazione lineare dei vettori $v_1,v_2,\cdots ,v_k$ se

$$v=a_1\cdot v_1+a_2\cdot v_2+\cdots +a_k\cdot v_k$$

con $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ numeri reali.

I vettori $v_1,v_2,\cdots ,v_k$ si dicono linearmente dipendenti se esiste una combinazione lineare di $v_1,v_2,\cdots ,v_k$ con coefficienti non tutti nulli.

Spazi e insiemi generati

Note

L’insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori $v_1,v_2,\cdots ,v_k$ viene chiamato lo spazio generato da $v_1,v_2,\cdots ,v_k$ e lo si indica con

$$L(v_1,v_2,\cdots ,v_k)<v_1,v_2,\cdots ,v_k>\text{span}(v_1,v_2,\cdots ,v_k)$$

Diremo che $\{v_1,v_2,\cdots ,v_k\}$ è un insieme di generatori per lo spazio $V$ se $L(v_1,v_2,\cdots ,v_k)=V$.