Basi ortogonali e ortonormali

Note

Un insieme $\{v_1,v_2,\cdots ,v_r\}$ in uno spazio euclideo $V$ si dice ortogonale se $v_i\ne \overrightarrow{0}$ per ogni $i$ e $v_i\cdot v_j=0$ con $i\ne j$.

$$\{\begin{array}{ll}{v}_i\ne 0& \forall i\\ v_i\cdot v_j=0(v_i\perp v_2)& \forall i\ne j\end{array}\Rightarrow \text{ ortogonali}$$

Un insieme $\{v_1,v_2,\cdots ,v_r\}$ in uno spazio euclideo $V$ si dice ortonormale se è ortogonale e $||v_i||=1$ per ogni $i$ (versore).

$$\{\begin{array}{ll}{v}_i\ne 0& \forall i\\ v_i\cdot v_j=0(v_i\perp v_2)& \forall i\ne j\\ ||v_i||=1& \forall i\end{array}\Rightarrow \text{ ortonormali}$$

Tip

Sia $\dim (V)=n$, essendo gli insiemi ortogonali/ortonormali sempre linearmente indipendenti sono basi di $v$.

Algoritmo di Gram-Schmid

Note

Per calcolare una base ortonormale partendo da una base qualsiasi si può usare questo algoritmo ricorsivo, detto processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmid.

$$w_i=v_i-\sum _{j=1}^{i-1}{P}_{w_j}(v_i)\text{ per }i=2,\cdots ,n$$

Example

1. Scegliere una base $B=\{v_1,\cdots ,v_n\}$ dello spazio $v$

$$u_1=v_1$$ $$u_2=v_2-\frac{u_1\cdot v_2}{||u_1|{|}^2}{u}_1$$ $$u_n=v_n-\frac{u_1\cdot v_n}{||u_1|{|}^2}{u}_1-\cdots -\frac{u_{n-1}\cdot v_n}{||u_{n-1}|{|}^2}{u}_{n-1}$$

2. L’insieme $\{u_1,u_2,\cdots ,u_n\}$ è un insieme ortogonale.
3. Dividendo per il modulo si ottiene una base ortonormale

$$\left\{\frac{u_1}{||u_1||},\frac{u_2}{||u_2||},\cdots ,\frac{u_n}{||u_n||}\right\}$$

Matrici e spazio ortogonale

Note

Una matrice quadrata si dice ortogonale se

$$A^T=A^{-1}⟺A^{T}A=I⟺A{A}^T=I$$

Se $v$ e $w$ sono due vettori colonna allora $v\cdot w=v^{T}w$. Una matrice è quindi ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale di ${\mathbb{R}}^n$.

Si ha che

$$R(A{)}^{\perp }=N(A^T)$$

B-espansione di un vettore

Note

Sia $B=\{q_1,\cdots ,q_n\}$ una base ortonormale di uno spazio euclideo $V$ e $v$ un vettore, allora la $B$-espansione del vettore viene definita come

$$v=(v\cdot q_1)q_1+\cdots +(v\cdot q_n)q_n$$

Vettore delle coordinate e matrice di trasformazione lineare ortonormale

Note

Sia $B=\{q_1,\cdots ,q_n\}$ una base ortonormale di uno spazio euclideo $V$, allora il vettore delle coordinate di $v$ nella base $B$ è

$$C_B(v)=\left(\begin{array}{c}v\cdot q_1\\ ⋮\\ v\cdot q_n\end{array}\right)$$

Se $V$ è uno spazio euclideo e $T:V\to V$ è una trasformazione lineare, allora la matrice di $T$ in una base ortonormale $B=\{q_1,\cdots ,q_n\}$ è data da

$$M_B^B(T)=C_B(T(q_i))=\left(\begin{array}{c}{q}_i\cdot T(q_j)\\ ⋮\\ q_n\cdot T(q_j)\end{array}\right)\Rightarrow a_{ij}=q_i\cdot T(q_j)$$

Decomposizione ortogonale di un vettore

Note

Se $U$ è un sottospazio di uno spazio euclideo $V$, allora $V=U\oplus U^{\perp }$ e questa viene definita decomposizione ortogonale di $V$ rispetto a $U$.

Conseguenze della decomposizione ortogonale

$$U=(U^{\perp }{)}^{\perp }\dim (U^{\perp })=n-\dim (U)$$

Proiezione ortogonale

Note

Se $A$ è una matrice $n$x$m$ allora

$${\mathbb{R}}^n=R(A)\oplus N(A^T){\mathbb{R}}^m=N(A)\oplus R(A^T)$$

Se $U$ è un sottospazio di uno spazio euclideo, allora ogni $v\in V$ si decompone in modo unico come

$$v=u_V+w_V{u}_V\in U,w_V\in U^{\perp }$$

La trasformazione lineare $P_U:V\to V$ definita ponendo $P_U(v)=u_v$ è detta proiezione ortogonale su $U$.

Matrice di proiezione

Note

La matrice $P_U$ di $p_U$ nella base canonica è detta matrice di proiezione su $U$. Se $B_U=\{q_1,\cdots ,q_n\}$ è una base ortonormale di $U$, sappiamo che $u_V=(v\cdot q_1)q_1+\cdots +(v\cdot q_r)q_r$. Sia $Q$ la matrice $\left(\begin{array}{cccc}{q}_1& q_2& \cdots & q_r\end{array}\right)$, allora la matrice di proiezione su $u$ è $P_U=Q{Q}^T$.

Per essere una matrice di proiezione ortogonale è necessario:

• Essere simmetrici: $P_U=Q{Q}^T$
• Essere idempotenti: $P_U^2=P_U$
• Vale la relazione $P_U^{\perp }=I-P_U$
• $u\in U⟺P_U(u)=u$
• $w\in U^{\perp }⟺P_U(w)=\overrightarrow{0}$

Autovettori ortogonali

Note

Se $A$ è una matrice quadrata di ordine $n$ simmetrica reale e $v,w$ sono due autovettori di $A$ relativi ad autovalori distinti allora $v$ e $w$ sono ortogonali.

Se la matrice non è simmetrica allora la base di autovalori sicuramente non è ortogonale.

Teorema spettrale

Note

Una matrice $A$ reale quadrata di ordine $n$ è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di ${\mathbb{R}}^n$ formata da autovettori di $A$. In particolare ogni matrice reale simmetrica è diagonalizzabile.

Sia $A$ una matrice quadrata, allora esiste una matrice ortogonale $M$ tale che

$$M^{-1}AM=M^{T}AM$$

è diagonale se e solo se $A$ è simmetrica.

Quindi per il teorema spettrale

$$A\text{ simmetrica}⟺\exists \text{ base ortonormale di autovettori di }A⟺M^{-1}AM=M^{T}AM$$