Base di spazio vettoriale

Note

Per essere definita base di spazio vettoriale un insieme deve essere:

• Un insieme di vettori finitamente generato
• Linearmente indipendente

Teorema della base

Note

Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato, allora:

• $V$ ha una base e tutte le basi di $V$ hanno lo stesso numero di elementi.
• Ogni insieme linearmente indipendente in $V$ è contenuto in una base di $V$.
• Ogni insieme di generatori di $V$ contiene una base.

Conseguenze del teorema della base

1. Sia $V$ uno spazio di dimensione finita, se $W$ è un sottospazio di $V$ allora anche $V$ è di dimensione finita e $\dim (W)\le \dim (V)$.
2. Sia $V$ uno spazio di dimensione finita, se $W$ è un sottospazio di $V$ e $\dim (W)=\dim (V)$ allora $W=V$.
3. Sia $V$ uno spazio di dimensione finita, se $v_1,v_2,\cdots ,v_k$ sono linearmente indipendenti in $v$ allora $k\le \dim (V)$.
4. Sia $V$ uno spazio di dimensione finita, se $v_1,v_2,\cdots ,v_k$ generano $V$ allora $\dim (V)\le k$.
5. Sia $V$ uno spazio di dimensione finita, se $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ sono linearmente indipendenti e $\dim (V)=n$ allora $\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\}$ è una base di $V$.
6. Sia $V$ uno spazio di dimensione finita, se $v_1,v_2,\cdots ,v_k$ generano $V$ e $\dim (V)=k$ allora $\{v_1,v_2\cdots ,v_k\}$ è una base di $V$.

Il numero di elementi di una qualsiasi base di uno spazio $V$ è chiamato dimensione di $V$ e lo si indica con il simbolo $\dim (V)$.

Spazio riga e spazio colonna

Note

Se $A$ è una matrice $n\times m$ indichiamo con $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ le righe di $A$ e con $A^1,A^2,\cdots ,A^m$ le colonne di $A$.

Lo spazio riga di $A$ è lo spazio generato dalle righe di $A$, mentre lo spazio colonna di $A$ è lo spazio generato dalle colonne di $A$.

Se una matrice $B$ è a gradini allora le sue righe non nulle sono linearmente indipendenti e quindi sono una base del suo spazio riga.

Operazioni tra sottospazi

Somma tra sottospazi

Se $U,W$ sono sottospazi di uno spazio $V$ allora lo spazio somma $U+W$ è un sottospazio.

$$U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}$$

Intersezione tra sottospazi

Se $U,W$ sono sottospazi di uno spazio $V$ allora lo spazio intersezione $U\cap W$ è un sottospazio.

$$U\cap W=\{v|v\in U,v\in W\}$$

Somma diretta tra sottospazi

Si dice che uno spazio $V$ è somma diretta di due sottospazi $U,W$ se

$$V=U+W\text{e}U\cap W=\{\overrightarrow{0}\}$$

La notazione della somma diretta fra $U$ e $W$ è: $V=U\oplus W$.

Complemento di un sottospazio

Se $U$ è un sottospazio di uno spazio $V$, un complemento di $U$ è un sottospazio $W$ tale che $V=U\oplus W$.

Proiezione di un sottospazio

Sia $V=U\oplus W$, allora, dato $v\in V$ possiamo scrivere in modo unico $v=u+w$ con $u\in U$ e $v\in V$. Il vettore $u$ è detto la proiezione di $v$ su $U$ relativa alla somma diretta $V=U\oplus W$.

Formula di Grassmann

Vale la seguente formula:

$$\dim (U+W)+\dim (U\cap W)=\dim (U)+\dim (W)$$