Superfici quadratiche

Note

Una superficie nello spazio è detta quadrica se è il luogo di punti definito da un’equazione di secondo grado.

Sfere

La sfera di centro $(x_0,y_0,z_0)$ e di raggio $R$ è il luogo di punti di equazione

$$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R$$

È un ellissoide e è caratterizzato dal fatto che $A_0$ ha solo un autovalore e $\det (A)<0$ Il centro della sfera è centro di simmetria, e il raggio è

$$R=\frac{\sqrt{-\det (A)}}{(\det (A_0){)}^{\frac{2}{3}}}$$

Coni quadrici

Un cono quadrico è un cono è anche una superficie quadrica I coni quadrici sono caratterizzati dal fatto di possedere un centro di simmetria (vertice $V$) che appartiene alla quadrica, quindi nella forma canonica si ha

$${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+{\lambda }_3{z}^2+c=0\Rightarrow c=p(V)=0$$

I coni quadrici sono le superfici quadriche per cui $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_0)$

Cilindri quadrici

Un cilindro quadrico è un cilindro che è anche una superficie quadrica. I cilindri quadrici sono caratterizzati dal fatto che

$$\text{rk}(A)\le 3\text{rk}(A_0)\le 2$$