Quadriche

Note

Una quadrica è il luogo di punti definito nel piano o nello spazio definito da un’equazione di secondo grado:

$$p(x_1,\cdots ,x_n)=0\text{ con }p(x_1,\cdots ,x_n)=\sum _{i\le j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j+\sum b_i{x}_i+f$$

In base al valore di $n$ le quadriche assumono diversi nomi:

• Coniche: $n=2$
• Cubiche: $n=3$
• Quadratiche: $n=4$

Sfere

Note

La sfera di centro $(x_0,y_0,z_0)$ e di raggio $R$ è il luogo di punti di equazione:

$$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2$$

Cono

Note

Un cono è una superficie per ogni punto della quale passa una retta $g$ tutta contenuta nella superficie e passante per un punto fisso $V$, detto vertice del cono. Le rette $g$ si dicono generatrici del cono, mentre una curva che interseca tutte le generatrici in un punto è detta direttrice del cono.

Un cono quadrico è un cono che è anche una superficie quadrica.

Example

$$x^2+y^2-z^2=0$$

È il cono quadrico con vertice l’origine e come direttrice la circonferenza di raggio $1$ centro $(0,0,1)$ giacente nel piano $z=1$

Cilindro

Note

Chiamiamo cilindro una superficie per ogni punto della quale passa una retta $g$ di direzione assegnata tutta contenuta nella superficie. Le rette $g$ si dicono generatrici del cilindro, mentre una curva che interseca tutte le generatrici in un punto è detta direttrice del cilindro.

Un cilindro quadrico è un cilindro che è anche una superficie quadrica.

Example

$$x^2+y^2-1=0$$

È un cilindro quadrico con generatrici parallele all’asse $z$ e direttrice la circonferenza di raggio $1$ centro $(0,0,0)$ giacente nel piano $z=0$

Superfici di rotazione

Note

Data una curva $\gamma$ e una retta $r$ la superficie descritta da i punti di $\gamma$ durante una rotazione di $2\pi$ attorno alla retta $r$ si dice superficie di rotazione generata da $\gamma$ e $r$ si dice asse di rotazione.

Le quadriche di rotazione sono le superfici quadriche che sono anche superfici di rotazione.

Isometrie

Note

Un isometria su ${\mathbb{R}}^n$ è una funzione $F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ che rispetta la distanza tra i punti

$$d(F(P),F(Q))=d(F,Q)$$

Isometrie lineari

Note

Un isometria lineare di ${\mathbb{R}}^n$ è una trasformazione lineare $T$ tale che:

$$T(x)\cdot T(y)=x\cdot y$$

Le proprietà delle isometrie lineari sono:

• Preserva la norma

$$||T(x)||=||x||$$

• Preserva gli angoli

$$\widehat{T(x)T(y)}=\widehat{xy}$$

• Preserva la distanza tra i punti

$$d(T(P),T(Q))=d(P,Q)$$

La trasformazione lineare $T$ è un’isometria lineare se e solo se la sua matrice $A$ è una matrice ortogonale.

Le isometrie lineari nel piano (${\mathbb{R}}^2$) sono:

$$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$$

Traslazione

Note

Dato un vettore $v$, la traslazione $T_v$ è una funzione definita ponendo:

$$T_v(P)=P+v$$

Se il vettore $v\ne \overrightarrow{0}$ allora la traslazione $T_v$ non è lineare poiché $T(\overrightarrow{0})=v\ne \overrightarrow{0}$, tuttavia le traslazioni sono comunque isometrie

Rototraslazione

Note

Una rototraslazione è un’isometria lineare seguita da una traslazione. Sia $R=T_v\circ T$ una rototraslazione con $T$ isometria lineare (rotazione) e $T_v$ l’isometria non lineare (traslazione). Sia $A$ la matrice di $T$ (rotazione) nella base canonica. Allora

$$R(X)=T_v(AX)=AX+v$$

Proprietà:

• siccome $T$ è un isometria lineare, $A$ è ortogonale.
• L’isometria lineare $T$ è anche detta parte lineare di $R$.
• Si può dimostrare che tutte le isometrie del piano o dello spazio sono rototraslazioni.

Composta di isometrie

La composta di due isometrie $F$ e $G$ è ancora un isometria

$$d(F\circ G(P),F\circ G(Q))=d(P,Q)$$

Se $R=T_v\circ T$ è una rototraslazione con parte lineare $T$ e $M_0$ è la matrice di $T$ allora la matrice associata alla rototraslazione $R$ è:

$$M=\left(\begin{array}{cc}{M}_0& v\\ \overrightarrow{0}& 1\end{array}\right)$$

L’inversa $R^{-1}$ di una rototraslazione $R$ è anch’essa una rototraslazione. Se $R(X)=T_v(AX)=AX+v$ è una rototraslazione all’ora l’inversa è:

$$R^{-1}=A^{-1}(X-1)=T_{-A^{-1v}}{A}^{-1}X$$

Se $R$ ha matrice $\left(\begin{array}{cc}{M}_0& v\\ \overrightarrow{0}& 1\end{array}\right)$ allora $R^{-1}$ ha matrice:

$$\left(\begin{array}{cc}{M}_0^{-1}& -M_0^{-1}v\\ \overrightarrow{0}& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{M}_0^T& -M_0^{T}v\\ \overrightarrow{0}& 1\end{array}\right)$$