Forme quadratiche

Note

Le forme quadratiche su ${\mathbb{R}}^n$ sono i polinomi di grado due omogenei in $n$ variabili, se

$$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)q(X)=\sum _{i,j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$

Example

In ${\mathbb{R}}^2$:

$$q\left(\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\right)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$$

In ${\mathbb{R}}^3$:

$$q\left(\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\right)=a{x}^2+bxy+c{y}^2+dxz+e{z}^2+fyz$$

Forme quadratiche e matrici

Note

Sia $q(X)=\sum _{i,j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j$ una forma quadratica e $A$ la matrice dei coefficienti $(a_{ij})$. Ponendo $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ possiamo riscrivere la forma quadratica come

$$q(X)=X^{T}AX$$

Matrice di Gram di una forma quadratica

Note

Se $q(X)$ è una forma quadratica allora possiamo sempre scrivere la forma quadratica nella seguente forma, dove $S$ è una matrice simmetrica unica

$$q(X)=X^{T}SX$$

La matrice $S$ è unica ed è detta matrice di Gram di una forma quadratica.

Example

Considero la quadrica

$$q(x,y,z)=axy+bxz+cyz+d{x}^2+e{y}^2+f{z}^2$$

Si scrive la matrice formata dai coefficienti

$$\left(\begin{array}{ccc}d& \frac{a}{2}& \frac{b}{2}\\ \frac{a}{2}& e& \frac{c}{2}\\ \frac{b}{2}& \frac{c}{2}& f\end{array}\right)$$

Segnatura di una forma quadratica

Note

Sia $A$ una matrice simmetrica reale. Sia $r$ il numero di autovalori positivi di $A$ contati con la loro molteplicità geometrica e sia $s$ il numero di autovalori negativi contati con la loro molteplicità geometrica. La coppia $(r,s)$ è detta segnatura della matrice $A$.

Tip

La segnatura di una forma quadratica è riferita alla matrice di Gram, quindi molteplicità geometrica e algebrica sono equivalenti.

Criterio di Cartesio

Note

Dato il polinomio

$$p(t)=\sum _{j=0}^r{a}_j{t}_j^i{a}_j\ne 00\le i_0<i_1<\cdots <i_r$$

Il numero di variazioni di segno è il numero di $j$ tali che

$$\text{sgn}(a_j)\ne \text{sqn}(a_{j-1})$$

Il numero di variazioni di un polinomio è il massimo numero di radici positive del polinomio. Se il polinomio ha solo radici reali allora il numero di variazioni è il numero di radici positive contato con la loro molteplicità.

Applicazione del criterio al calcolo della segnatura di una matrice simmetrica. Se $A$ è simmetrica allora il polinomio caratteristico ha solo radici reali, quindi:

$$\#\text{ autovalori positivi}=\#\text{ n. variazioni}$$ $$\#\text{ autovalori nulli}=\text{null}(A)$$ $$\#\text{ autovalori negativi}=n-\text{null}(A)-\#\text{ autovalori positivi}=\text{rk}(A)-\#\text{ n. variazioni}$$

Sapendo questo possiamo riscrivere la segnatura $(r,s)$ di $q(x)$ come:

• $r$: numero di variazioni del polinomio caratteristico della matrice di Gram di $q(x)$
• $s$: $\text{rk}(S)-r$

Forme quadratiche particolari e segnatura

Note

Sia $q(X)$ una forma quadratica su ${\mathbb{R}}^n$

1. Si dice che $q$ è nondegenere se il rango della sua matrice di Gram è $n$.
2. Si dice che $q$ è semidefinita positiva se:

$$q(X)\ge 0\forall X\in {\mathbb{R}}^n$$

3. Si dice che $q$ è semidefinita negativa se

$$q(X)\le 0\forall X\in {\mathbb{R}}^n$$

4. Si dice che $q$ è definita positiva se

$$\{\begin{array}{l}q(X)\ge 0\forall X\in {\mathbb{R}}^n\\ q(X)=0⟺X=0\end{array}$$

4. Si dice che $q$ è definita negativa se

$$\{\begin{array}{l}q(X)\le 0\forall X\in {\mathbb{R}}^n\\ q(X)=0⟺X=0\end{array}$$

5. Si dice che $q$ è indefinita se esiste un vettore $v$ per cui

$$\{\begin{array}{l}\exists v|q(v)>0\\ \exists w|q(w)<0\end{array}$$

1. La forma $q$ su ${\mathbb{R}}^n$ è semidefinita positiva se e solo se ha segnatura $(r,0)$
2. La forma $q$ su ${\mathbb{R}}^n$ è definita positiva se e solo se ha segnatura $(n,0)$
3. La forma $q$ su ${\mathbb{R}}^n$ è semidefinita negativa se e solo se ha segnatura $(0,s)$
4. La forma $q$ su ${\mathbb{R}}^n$ è definita negativa se e solo se ha segnatura $(0,n)$
5. La forma $q$ su ${\mathbb{R}}^n$ è indefinita se e solo se la segnatura è $(r,s)$ con $r\ne 0$, $s\ne 0$
6. La forma $q$ su ${\mathbb{R}}^n$ è non degenere se e solo se $r+s=n$

Traccia di una matrice

Note

La traccia di una matrice $A$ quadrata di ordine $n$ è la somma degli elementi sulla diagonale principale della matrice:

$$\text{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$$

La traccia di $AB$ è pari alla traccia di $BA$

$$\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$$

Se $A$ e $B$ sono matrici simili, allora hanno la stessa traccia e lo stesso determinante

$$\text{tr}(A)=\text{tr}(B)\det (A)=\det (B)$$

Teorema della traccia, determinante e autovalori

Note

Se $A$ è una matrice diagonalizzabile e ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ sono i suoi autovalori allora

$$\det (A)={\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot \cdots \cdot {\lambda }_n\text{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$$

Segnatura di una quadratica nel piano

Note

Data la forma quadratica $q(x)$ con matrice di Gram $S$

$$q(x)=a{x}^2+bxy+c{y}^{2}S=\left(\begin{array}{cc}a& \frac{b}{2}\\ \frac{b}{2}& c\end{array}\right)$$

Si ha che

• $\det (S)>0$ e $a>0⟹(2,0)$
• $\det (S)>0$ e $a<0⟹(0,2)$
• $\det (S)<0⟹(1,1)$
• $\det (S)=0$ e $a+c>0⟹(1,0)$
• $\det (S)=0$ e $a+c<0⟹(0,1)$