Forma canonica

Note

Ogni quadrica può essere spostata con una rototraslazione in una particolare forma detta forma canonica della quadrica.

Matrice di una quadrica

Note

All’equazione di una quadrica

$$p(x_1,\cdots ,x_n)=0\text{ con }p(x_1,\cdots ,x_n)=\sum _{i\le j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j+\sum b_i{x}_i+f$$

si associa la matrice:

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_0& q\\ q^T& f\end{array}\right)$$

dove $A_0$ è la matrice di Gram di $\sum a_{ij}{x}_i{x}_j$ e quindi

$$(A_0{)}_{ii}=a_{ii}(A_0{)}_{ij}=\frac{a_{ij}}{2}{q}_i=\frac{b_i}{2}$$

L’equazione si può scrivere come

$$\left(\begin{array}{cc}{X}^T& 1\end{array}\right)A\left(\begin{array}{c}X\\ 1\end{array}\right)X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

Si omogeneizza il polinomio:

$$Q(x_1,x_2,\cdots ,x_n,x_{n+1})=\sum _{i\le j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j+\sum b_i{x}_i{x}_{n+1}+f{x}_{n+1}^2$$

$Q$ è quindi una forma quadratica in ${\mathbb{R}}^{n+1}$

Equazione della rototraslazione di una quadrica

Note

Se $Q$ è una quadrica di equazione $p(X)=0$ e $R$ è una rototraslazione, allora la quadrica $R(Q)$ ha equazione:

$$p(R^{-1}(X))=0$$

Sia $Q$ una quadrica, $R$ una rototraslazione e $A$ la matrice di $Q$.

$$Q=\left(\begin{array}{cc}{A}_0& q\\ q^T& f\end{array}\right)M=\left(\begin{array}{cc}{M}_0& v\\ \overrightarrow{0}& 1\end{array}\right)$$

Allora la matrice di $R(Q)$ è

$$(M^{-1}{)}^{T}A{M}^{-1}$$

Calcolo della forma canonica

Il metodo consiste nel modificare l’equazione della quadrica in due passaggi moltiplicandola per un fattore $k$ non nullo oppure effettuando una rototraslazione. In genere si applicano due procedimenti:

• Diagonalizzazione
• Eliminazione dei termini lineari

Data l’equazione della quadrica

$$p(x_1,\cdots ,x_n)=0\text{ con }p(x_1,\cdots ,x_n)=\sum _{i\le j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j+\sum b_i{x}_i+f$$

Allora

• La diagonalizzazione consiste nella diagonalizzazione della matrice $A_0$ e l’effetto è quello di eliminare i termini $a_{ij}{x}_i{x}_j$ con $i\ne j$ dall’equazione.
• L’eliminazione dei termini lineari consiste in una traslazione e l’effetto è quello di eliminare dall’equazione termini del tipo $b_i{x}_i$.
• La forma canonica è quella che si ottiene eliminando tutti i termini $a_{ij}{x}_i{x}_j$ con $i\ne j$ e il maggior numero possibile di termini lineari.

Eliminazione dei termini lineari

Effettuiamo la traslazione che manda il centro $c_0$ nell’origine degli assi

$$\left(\begin{array}{c}{T}_{-c_0}(X)\\ 1\end{array}\right)$$

La matrice dell’equazione diventa

$$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{A}_0& 0\\ 0& f^{\prime }\end{array}\right)$$

L’equazione della quadrica traslata è

$$p^{\prime }(X)=X^T{A}_{0}X+f^{\prime }=0$$

Se vogliamo calcolare solo $f^{\prime }$:

• Se $\det (A_0)\ne 0$

f'=\frac{\det(A')}{\det(A_{0})} $$ - Se $\det(A_{0})=0$

f'=p'(0)=p(T_{c_{0}}(0))=p(c_{0})
$$

Diagonalizzazione

Siccome $A_0$ è una matrice simmetrica sappiamo che $A_0$ ammette una matrice modale $M_0$ ortogonale, abbiamo dunque che

$$M_0^T{A}_0{M}_0=M_0^{-1}{A}_0{M}_0=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

Si effettua l’isometria lineare

$$\left(\begin{array}{c}R(X)\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{M}_0^{-1}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ 1\end{array}\right)$$ $$A^{\prime \prime }=\left(\begin{array}{cc}{X}^T& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ 1\end{array}\right)$$

che corrisponde all’equazione

$$\sum {\lambda }_i{X}_i^2+f^{\prime }=0$$

Quadriche con centro di simmetria

Note

Sia $A=\left(\begin{array}{cc}{A}_0& q\\ q^T& f\end{array}\right)$ la matrice di una quadrica $Q$. Una quadrica con centro di simmetria è una quadrica tale che esiste una soluzione $c_0$ di

$$A_{0}X+q=\overrightarrow{0}$$

E il punto $c_0$ è un centro di simmetria della quadrica.

Siano quindi ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r$ gli autovalori positivi, e ${\mu }_1,\cdots ,{\mu }_s$ gli autovalori negativi. Negando gli autovalori negativi l’equazione diventa

$$\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{x}_i^2-\sum _{i=1}^s-{\mu }_i{x}_i^2=-f^{\prime }{\lambda }_i>0,-{\mu }_i>0$$

Questa equazione è detta forma canonica della quadrica con centro di simmetria

Quadriche senza centro di simmetria

Note

Se $A_{0}X+q$ non ha soluzione, si decompone $q$ rispetto a $R(A)$ (decomposizione ortogonale)

$${\mathbb{R}}^n=R(A_0)\oplus R(A_0{)}^{\perp }=R(A_0)\oplus N(A_0^T)=R(A_0)\oplus N(A_0)$$

Siccome la matrice è simmetrica, allora $A^T=A$ e quindi $N(A_0)=N(A_0^T)$. La decomposizione ortogonale del vettore $q$ è

$$q=q_0+q_1\text{ con }{q}_0\in N(A_0),q_1\in R(A_0)$$

Se $c_0$ è una soluzione di $A_{0}X+q_1=\overrightarrow{0}$, allora si trasla $c_0$ nell’origine e la matrice traslata diventa:

$$\left(\begin{array}{cc}{A}_0& q_0\\ q_0^T& f^{\prime }\end{array}\right)$$

Si calcola una matrice modale ortogonale $M_0$ di $A_0$ e si trasforma la quadrica con l’isometria lineare $R(X)=M_0^T$. La matrice si trasforma in

$$\left(\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0& b_1^{\prime }\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0& b_2^{\prime }\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n& b_n^{\prime }\\ b_1^{\prime }& b_2^{\prime }& \cdots & b_n^{\prime }& f^{\prime }\end{array}\right)$$

Teorema della rototraslazione delle quadriche

Note

Ogni quadrica può essere portata con una rototraslazione in una quadrica con equazione in una delle tre seguenti forme:

• Se $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_0)$:

$$\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{x}_i^2-\sum _{i=1}^s{\mu }_i{x}_{i+r}^2=0{\lambda }_i>0,{\mu }_i>0$$

• Se $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_0)+1$:

$$\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{x}_i^2-\sum _{i=1}^s{\mu }_i{x}_{i+r}^2=cc\ne 0,{\lambda }_i>0,{\mu }_i>0$$

• Se $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_0)+2$:

$$\sum _{i=1}^r{\lambda }_i{x}_i^2-\sum _{i=1}^s{\mu }_i{x}_{i+r}^2-c{x}_{r+s+1}=0c>0,{\lambda }_i>0,{\mu }_i>0$$

Conseguenze del teorema

• Se $M$ è invertibile allora $\text{rk}(AM)=\text{rk}(A)=\text{rk}(MA)$
• Se si rototrasla una quadrica con la rototraslazione $R(X)=M_{0}X+v$ allora la sua matrice $A$ si trasforma in $A^{\prime }=(M^{-1}{)}^{T}A{M}^{-1}$ dove $M$ è la matrice di $R$. Inoltre $A_0^{\prime }=M_0{A}_0{M}_0^T$, ne segue che il rango di $A$ e $A_0$ non cambiano.
• Per calcolare esattamente la forma in cui corrisponde una quadrica non è necessario calcolare gli autovettori ma solo gli autovalori:
  1. Se $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_0)$ si è nel primo caso e bastano gli autovalori.
  2. Se $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_0)+2$ si è nel terzo tipo e bastano gli autovalori poiché $c=2||q_0||$
  3. Se $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_0)+1$ e
     • $\det (A_0)\ne 0$ bastano gli autovalori poiché $c=-\frac{\det (A)}{\det (A_0)}$
     • $\det (A_0)=0$ allora oltre agli autovalori si calcola un centro $c_0$ e $c=-p(c_0)$