Classificazione delle quadriche

Forma canonica delle coniche

Applichiamo la classificazione delle quadriche al caso delle coniche.

1. Caso $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_0)$
   • $\text{rk}(A_0)=2$ → l’equazione è del tipo ${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2=0$
     • Autovalori tutti dello stesso segno (ellisse degenere):
     $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$$
     • Autovalori con segno discorde (iperbole degenere):
     $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$$
     • $\text{rk}(A_0)=1$ → l’equazione si riduce a $y^2=0$ che è una retta (retta doppia)
2. Caso $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_0)+1$
   • $\text{rk}(A_0)=2$ → l’equazione è del tipo ${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2=c$ con $c\ne 0$. dividendo per $c$ si ottiene
   rx^{2}+sy^{2}=1 $$ - se $r>0\vee s>0$ ellisse: $$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $$ - Se $r>0\vee s<0$ iperbole: $$ \frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $$ - Se $r<0\vee s<0$ insieme vuoto (ellisse immaginaria) $$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 $$ - $\text{rk}(A_{0})=1$ -> l'equazione è del tipo $\lambda X^{2}=c$ con $c\neq 0$. Dividendo per $\lambda$ si ottiene

    y^{2}=a
    $$
    - Se $a<0$ si ha l'insieme vuoto (rette immaginarie)
    - Se $a>0$ si ha una coppia di rette parallele
   

3. Caso $\text{rk}(A)=\text{rk}(A_0)+2$
   • $\text{rk}(A_0)=2$ → l’equazione è del tipo $\lambda y^2=cx$ con $c\ne 0$. Dividendo per $\lambda$ si ottiene una parabola non degenere:
   y^{2}=ax\qquad a>0 $$

Nome	Forma canonica
Ellisse reale	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Ellisse immaginaria	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$
Iperbole	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Ellisse degenere (un punto)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0$
Iperbole degenere (due rette incidenti)	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$
Parabola	$y^2=ax$
Rette parallele	$y^2=aa>0$
Rette immaginarie	$y^2=aa<0$
Retta doppia	$y^2=0$

Forma canonica delle quadriche

Nome	Forma canonica
Autovalori tutti dello stesso segno: un punto (cono immaginario)	${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+{\lambda }_3{z}^2=0$
Cono	$z^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$
Autovalori con lo stesso segno: una retta	${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2=0$
Autovalori con segno discorde: una coppia di piani incidenti	${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2=0$
Un piano	$x^2=0$
$a>0\vee b>0\vee c>0$ ellissoide	$a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=1$
$a>0\vee b>0\vee c<0$ iperboloide iperbolico	$a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=1$
$a>0\vee b<0\vee c<0$ iperboloide ellittico	$a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=1$
$a<0\vee b<0\vee c<0$ insieme vuoto (ellissoide immaginario)	$a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=1$
$a<0\vee b<0$ insieme vuoto	$a{x}^2+b{y}^2=1$
$a>0\vee b>0$ cilindro ellittico	$a{x}^2+b{y}^2=1$
$ab<0$ cilindro iperbolico	$a{x}^2+b{y}^2=1$
$u>0$ due piani paralleli	$x^2=u$
$u<0$ insieme vuoto (piani immaginari)	$x^2=u$
$a>0\vee b>0$ paraboloide ellittico	$a{x}^2+b{y}^2=z$
$a>0\vee b<0$ paraboloide iperbolico	$a{x}^2+b{y}^2=z$
Cilindro parabolico	$x^2=az$