Classificazione affine delle quadriche

Invarianti metrici

Note

Data l’equazione di una conica, sia $A$ la sua matrice:

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_0& q\\ q^T& f\end{array}\right)A_0=A_0^T\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$$

Gli invarianti metrici della conica sono:

• Invariante cubico $I_3=\det (A)$
• Invariante quadratico $I_2=\det (A_0)={\lambda }_1\cdot {\lambda }_2$
• Invariante lineare $I_1=\text{tr}(A_0)={\lambda }_1+{\lambda }_2$

Gli invarianti metrici rimangono invariati se si applica una rototraslazione alla conica.

Coniche

• Coniche non degeneri $I_3\ne 0$

Condizione	Nome
$I_2>0\vee I_1{I}_3>0$	Ellisse immaginaria
$I_2>0\vee I_1{I}_3<0$	Ellisse
$I_2<0$	Iperbole
$I_2=0$	Parabola

• Coniche degeneri $I_3=0$

Condizione	Nome
$I_2>0$	Ellisse degenere (un punto)
$I_2<0$	Iperbole degenere (due rette incidenti)
$I_2=0\vee \text{rk}(A)=1$	Retta doppia
$I_2=0\vee I_1{f}^{\prime }<0$	Rette parallele
$I_2=0\vee I_1{f}^{\prime }>0$	Rette immaginarie
Nei casi degeneri con $I_2=0$ gli invarianti metrici non bastano: bisogna calcolare $f^{\prime }$

$$f^{\prime }=P(c_0)c_0=\text{centro}$$

Quadriche

La classificazione dipende dalla segnatura della forma quadratica che ha la matrice $A_0$ come matrice di Gram:

$$q_0(X)=X^T{A}_{0}X$$

• Quadriche non degeneri $\det (A)\ne 0$

Nome	Segnatura $q_0$	Condizione
Ellissoide immaginario	$(3,0)$ o $(0,3)$	$\det (A)>0$
Ellissoide	$(3,0)$ o $(0,3)$	$\det (A)<0$
Iperboloide iperbolico	$(2,1)$ o $(1,2)$	$\det (A)>0$
Iperboloide ellittico	$(2,1)$ o $(1,2)$	$\det (A)<0$
Paraboloide iperbolico		$\det (A)>0\vee \text{rk}(A_0)=2$
Paraboloide ellittico		$\det (A)<0\vee \text{rk}(A_0)=2$

• Quadriche con $\text{rk}(A)=3$

Nome	Segnatura $q_0$	Condizione
Un punto (cono immaginario)	$(3,0)$ o $(0,3)$
Cono	$(2,1)$ o $(1,2)$
Cilindro immaginario	$(2,0)$ o $(0,2)$	$\text{tr}(A_0)f^{\prime }>0$
Cilindro ellittico	$(2,0)$ o $(0,2)$	$\text{tr}(A_0)f^{\prime }<0$
Cilindro iperbolico	$(1,1)$
Cilindro parabolico	$(1,0)$ o $(0,1)$

• Quadriche con $\text{rk}(A)\le 2$

Nome	Segnatura $q_0$	Condizione
Una retta (due piani immaginari incidenti)	$(2,0)$ o $(0,2)$
Due piani incidenti	$(1,1)$
Vuoto (due piani paralleli immaginari)	$(1,0)$ o $(0,1)$	$\text{rk}(A)=2\vee \text{tr}(A_0)f^{\prime }>0$
Due piani paralleli	$(1,0)$ o $(0,1)$	$\text{rk}(A)=2\vee \text{tr}(A_0)f^{\prime }<0$
Piano doppio	$(1,0)$ o $(0,1)$	$\text{rk}(A)=1$

Coniche nello spazio

Una conica nello spazio viene descritta come l’intersezione di una quadrica con un piano non contenuto nella quadrica. Per riconoscere affinemente la conica è sufficiente eliminare un parametro dall’equazione della quadrica usando l’equazione del piano e classificare affinemente l’equazione che si ottiene.