Trasformazioni lineari

Note

Dati due spazi vettoriali $V$ e $W$, una trasformazione lineare da $V$ in $W$ è una funzione $f:A\to B$ tale che dati $v_1,v_2\in V$ e $t\in \mathbb{R}$:

$$f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)f(t\cdot v_1)=t\cdot f(v_1)$$

Le trasformazioni lineari si indicano con la lettera maiuscola.

Tip

Ogni trasformazione lineare conserva il vettore nullo, cioè:

$$T(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0}$$

Data una matrice $A$ di dimensioni $n\times m$ è una trasformazione lineare la funzione definita ponendo:

$$T_A:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n{T}_A(X)=A\cdot X$$

Tipologie particolari di funzioni

Funzione composta

Data una funzione $f:A\to B$ e una funzione $g:B\to C$, la funzione $h=g\circ f$ è definita come $h:A\to C$ e corrisponde a $g(f(x))$.

Funzione invertibile

Una funzione $f:A\to B$ viene definita invertibile se esiste una funzione $g:B\to A$ tale che $g\circ f=I_A$ E $f\circ g=I_B$. Una funzione è invertibile solo se è biiettiva.

Nucleo e immagine

Note

In una trasformazione lineare i vettori del codominio sono i trasformati del dominio. Se $T:V\to W$ è una trasformazione lineare, allora è chiamato nucleo di $T$ l’insieme:

$$\ker (T)=\{v\in V|T(v)=\overrightarrow{0}\}$$

L’insieme immagine di una trasformazione lineare $T$ è

$$\text{im}(T)=\{w\in W,\exists v\in V|w=T(v)\}$$

Il nucleo e l’immagine di una trasformazione lineare $T:V\to W$ sono sottospazi vettoriali rispettivamente di $V$ e di $W$.

• Il nucleo di $T_A$ è lo spazio colonna nullo di $A$: $\ker (T_A)=N(A)\Rightarrow \dim (\ker (T_A))=\text{null}(A)$
• L’immagine di $T_A$ è lo spazio colonna di $A$: $\text{im}(T_A)=R(A)\Rightarrow \dim (\text{im}(T_A))=\text{rk}(A)$

Teorema della dimensione

Note

Come conseguenza del teorema di nullità più rango, se $T:V\to W$ è una trasformazione lineare tra due spazi vettoriali e $V$ è di dimensione finita, allora:

• $\text{im}(T)$ è di dimensione finita.
• $\dim (V)=\dim (\ker ((T)))+\dim (\text{im}(T))$

Conseguenze del teorema della dimensione

Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali di dimensione finita e $T:V\to W$ una trasformazione lineare, allora:

1. Se $T$ è iniettiva allora $\dim (V)\le \dim (W)$.
2. Se $T$ è suriettiva allora $\dim (V)\ge \dim (W)$.
3. Se $\dim (V)=\dim (W)$ allora $T$ è iniettiva se e solo se è biiettiva.
4. Se $\dim (V)=\dim (W)$ allora $T$ è suriettiva se e solo se è biiettiva.

Composta di trasformazioni lineari

Note

Se $T:V\to W$ e $S:W\to U$ sono trasformazioni lineari, allora $(S\circ T):V\to U$ è una trasformazione lineare.

$$(S\circ T)(v)=S(T(v))$$

Inversa di trasformazione lineare

Note

Se $T:V\to W$ è una trasformazione lineare biiettiva (quindi invertibile) allora $T^{-1}:W\to V$ è lineare.

Per essere invertibile una matrice $A$ deve essere quadrata e con $\det (A)\ne 0$. Inoltre vale anche $T_A^{-1}=T_{A^{-1}}$