Isomorfismi

Isomorfismi

Note

Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali. Un isomorfismo da $V$ a $W$ è una trasformazione lineare biiettiva.

$$T:V\to W$$

Vettori e coordinate

Note

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e sia $B=\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\}$ una base di $V$. Se $v$ è un vettore in $V$ allora è combinazione lineare degli elementi in $B$:

$$v=x_1{v}_1+x_2{v}_2+\cdots +x_n{v}_n$$

Il vettore $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ è detto vettore delle coordinate di $v$ in $B$ e lo indichiamo con $C_B(v)$.

Sia quindi $B$ una base di $V$ e sia $n$ la dimensione di $V$. Allora la funzione $C_B:V\to {\mathbb{R}}^n$ è un isomorfismo.

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e $W$ uno spazio vettoriale di dimensione $m$. Siano $B$ e $B^{\prime }$ basi rispettivamente di $V$ e $W$. Data $T:V\to W$ una trasformazione lineare, esiste un unica matrice $A$ di dimensione $m$x$n$ tale che

$$C_B(T(v))=A{C}_B(v)$$

La matrice $A$ è detta matrice rappresentativa della trasformazione lineare $T$ nelle basi $B$ e $B^{\prime }$ e si indica con

$$M_{B^{\prime }}^B(T)$$

che è la matrice che ha per $i$-esima colonna il vettore delle coordinate in $B^{\prime }$ dell’$i$-esimo elemento di $B$.

Matrici del cambiamento di base

Matrice del cambiamento di base

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita e siano $B$ e $B^{\prime }$ basi di $V$. Sia $v$ un vettore in $V$ e siano $X$ e $X^{\prime }$ i vettori delle coordinate di $v$ nelle basi $B$ e $B^{\prime }$ rispettivamente, allora

$$X^{\prime }=M_{B^{\prime }}^B(I)X$$

Per questo motivo la matrice $M_{B^{\prime }}^B(I)$ è detta matrice del cambiamento di base.

Matrice della composizione di due trasformazioni lineari

Siano $T:V\to W$ e $S:W\to U$ due trasformazioni lineari. Fissiamo una base $B$ di $V$ una base $B^{\prime }$ di $W$ e una base $B^{\prime \prime }$ di $U$, allora:

$$M_{B^{\prime \prime }}^B(S\circ T)=M_{B^{\prime \prime }}^{B^{\prime }}(S)\cdot M_{B^{\prime }}^B(T)$$

Matrice dell'identità

Consideriamo l’identità $I:V\to V$, cioè $I(v)=v$. Se $B$ è una base di $V$ allora $M_{B^{\prime }}^B(I)=I$. Se $B$ e $B^{\prime }$ sono basi di $V$ allora $M_{B^{\prime }}^B(I)$ è invertibile e

$$M_{B^{\prime }}^B(I{)}^{-1}=M_B^{B^{\prime }}(I)$$

Matrice rappresentativa

Note

Sia $T:V\to W$ una trasformazione lineare. Siano $B$,$B_1$ basi di $V$ e $B^{\prime }$,$B_1^{\prime }$ basi di $W$, allora

$$M_{B_1^{\prime }}^{B_1}=M_{B_1^{\prime }}^{B^{\prime }}(I)\cdot M_{B^{\prime }}^B(T)\cdot M_B^{B_1}(I)$$

Trasformazioni lineari diagonalizzabili

Note

Una trasformazione lineare $T:V\to V$ si dice diagonalizzabile se esiste una base $B$ di $V$ in cui la matrice $M_B^B(T)$ è diagonale. Inoltre è diagonalizzabile se e solo se in una qualsiasi base $B^{\prime }$ di $V$ $M_{B^{\prime }}^{B^{\prime }}(T)$ è diagonalizzabile.