Rango

Note

La dimensione dello spazio colonna $R(A)$ è detta rango di $A$ e la indichiamo con $\text{rk}(A)$ (numero colonne con pivot), quindi se $A$ è di dimensione $n\times m$:

$$\text{rk}(A)=\dim R(A)=\dim (L(A^1,A^2,\cdots ,A^m))$$

Il rango è sempre minore del numero di righe e di colonne:

$$\text{rk}(A)\le n\vee \text{rk}(A)\le m$$

Spazio nullo

Note

Lo spazio nullo di una matrice $A$ è $\text{Sol}(A,\overrightarrow{0})$ e lo si indica con $N(A)$ (colonne senza pivot).

Immagine

Note

L’immagine di una matrice è lo spazio colonna della matrice e lo si indica con $R(A)$ (colonne con pivot).

Nullità

Note

La dimensione dello spazio nullo $N(A)$ è detta nullità di $A$ e si indica con $\text{null}(A)$ (numero colonne senza pivot)

Teorema nullità più rango

Note

Considerata una matrice $A$ di dimensioni $n$x$m$

$$\text{null}(A)+\text{rk}(A)=m\text{(numero di colonne)}$$

Il teorema è un caso speciale di un teorema più generale detto teorema della dimensione.

Teorema del rango

Note

Il rango di una matrice $A$ è uguale al rango della matrice trasposta, in simboli:

$$\text{rk}(A)=\text{rk}(A^T)$$

Di conseguenza:

• La dimensione dello spazio colonna è $\text{rk}(A)$
• Il numero massimo di colonne linearmente indipendenti è $\text{rk}(A)$
• La dimensione dello spazio riga è $\text{rk}(A)$
• Il numero massimo di righe linearmente indipendenti è $\text{rk}(A)$
• Il rango di $A$ di dimensioni $n$x$m$ è minore o uguale a $m$ e $n$

Calcolo del rango

Matrici numeriche

Note

Siccome il rango di una matrice di $A$ è la dimensione dello spazio riga per calcolare il rango basta ridurre a gradini la matrice. Il numero di pivot rimasti dopo la riduzione è il valore del rango

Matrici parametriche - Metodo di Kronecker

Note

Individuando un minore $M$ con determinante diverso da zero, e calcolando i determinanti di tutti i minori orlati di $M$, se tutti i minori orlati di $M$ hanno determinante nullo allora il rango della matrice è di ordine $M$.

Minore Orlato

Se $A$ è una matrice $n$x$m$ e $M$ è un minore di $A$ di ordine $r$, un minore orlato di $M$ è un minore di $A$ di ordine $r+1$ che si ottiene aggiungendo a $M$ una riga ed una colonna.