Posizione reciproca

Posizione piano-retta

Sia il piano $α$ e la retta $r$ definiti come:
$α : a x + b y + cz = d r : {a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2}$
L’intersezione del piano con la retta è data dalle soluzioni del sistema
$⎩ ⎨ ⎧ a x + b y + cz = d a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2}$
Allora la posizione reciproca del piano e della retta sarà:

$rk (A)$ $rk (A, b)$ Numero di soluzioni risultato
2 2 $\infty^{1}$ La retta sta sul piano
2 3 nessuna Piano e retta paralleli e distinti
3 3 1 Piano e retta incidenti

$rk (A)$	$rk (A, b)$	Numero di soluzioni	risultato
2	2	$\infty^{1}$	La retta sta sul piano
2	3	nessuna	Piano e retta paralleli e distinti
3	3	1	Piano e retta incidenti

Posizione retta-retta

Date le rette $r, s$ nello spazio di equazione cartesiana
$r : {a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} s : {a_{1}^{'} x + b_{1}^{'} y + c_{1}^{'} z = d_{1}^{'} a_{2}^{'} x + b_{2}^{'} y + c_{2}^{'} z + d_{2}^{'}$
Studiamo la loro intersezione:
$⎩ ⎨ ⎧ a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} a_{1}^{'} x + b_{1}^{'} y + c_{1}^{'} z = d_{1}^{'} a_{2}^{'} x + b_{2}^{'} y + c_{2}^{'} z + d_{2}^{'}$
Allora la posizione reciproca del piano e della retta sarà:

$rk (A)$ $rk (A, b)$ Numero di soluzioni risultato
2 2 $\infty^{1}$ Rette coincidenti
2 3 nessuna Rette parallele e distinte
3 3 1 Rette incidenti
3 4 nessuna rette sghembe

$rk (A)$	$rk (A, b)$	Numero di soluzioni	risultato
2	2	$\infty^{1}$	Rette coincidenti
2	3	nessuna	Rette parallele e distinte
3	3	1	Rette incidenti
3	4	nessuna	rette sghembe

Rette complanari e sghembe

Note

Due rette si dicono complanari se appartengono allo stesso piano (parallele o incidenti). Se due rette non sono complanari allora sono sghembe. Due rette sono complanari se e solo se $rk (A, b) < 4$ quindi se e solo se $det (A, b) = 0$

Se due rette $r, s$ in equazione parametrica:
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + tl y = y_{0} + t m z = z_{0} + t n s : ⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0}^{'} + t l^{'} y = y_{0}^{'} + t m^{'} z = z_{0}^{'} + t n^{'}$
Allora la condizione di complanarità è:
$det x_{0}^{'} - x_{0} l l^{'} y_{0}^{'} - y_{0} m m^{'} z_{0}^{'} - z_{0} n n^{'} = 0$

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