Piano

Note

Fissiamo un punto $P_0$ sul piano $\alpha$ e due vettori $v$ e $w$ non paralleli pere cui le rette passanti per $P_0$ aventi direzione $v$ e $w$ giacciono sul piano.

$$P\in \alpha ⟺P=P_0+t_1\cdot v+t_2\cdot w$$

Questa è detta forma vettoriale del piano e i vettori $v$ e $w$ sono detti direzioni del piano. Di fatto abbiamo definito il piano come la combinazione lineare di due vettori applicati su un punto:

$$\alpha =P_0+L(v,w)$$

Equazione parametrica del piano nello spazio

Note

Esplicitando

$$P_0=(x_0,y_0,z_0)P=(x,y,z)v=l_1\overrightarrow{i}+m_1\overrightarrow{j}+n_1\overrightarrow{k}w=l_2\overrightarrow{i}+m_2\overrightarrow{j}+n_2\overrightarrow{k}$$

Sostituiamo nella forma vettoriale del piano e si ottiene

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+t_1{l}_1+t_2{l}_2\\ y=y_0+t_1{m}_1+t_2{m}_2\\ z=z_0+t_1{n}_1+t_2{n}_2\end{array}$$

Per verificare che sia un piano basta calcolare

$$\text{rk}\left(\begin{array}{ccc}{l}_1& m_1& n_1\\ l_2& m_2& n_2\end{array}\right)=2$$

Forma normale di un piano nello spazio

Note

Fissiamo un punto $P_0$ appartenente al piano $\alpha$ e sia $\overrightarrow{n}$ un vettore normale al piano. Un punto $P$ sta sul piano $\alpha$ se e solo se:

$$\overrightarrow{P_{0}P}\cdot \overrightarrow{n}=0$$

Equazione cartesiana di un piano nello spazio

Note

Se esplicitiamo

$$P=(x,y,z)P_0=(x_0,y_0,z_0)\overrightarrow{n}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}+c\overrightarrow{k}$$

allora la forma normale diventa

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$

Se poniamo $d=a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0$ troviamo l’equazione cartesiana del piano nello spazio.

$$ax+by+cz=d$$

$a,b,c$ sono detti parametri direttori.

Piano passante per tre punti non allineati

Note

Dati tre punti non allineati (vettori associati linearmente indipendenti)

$$P_0=(x_0,y_0,z_0)P_1=(x_1,y_1,z_1)P_2=(x_2,y_2,z_2)$$

• Equazione parametrica

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+t_1(x_1-x_0)+t_2(x_2-x_0)\\ y=y_0+t_1(y_1-y_0)+t_2(y_2-y_0)\\ z=z_0+t_1(z_1-z_0)+t_2(z_2-z_0)\end{array}$$

• Equazione cartesiana Valori per cui

$$\det \left(\begin{array}{ccc}x-x_0& y-y_0& z-z_0\\ x_1-x_0& y_1-y_0& z_1-z_0\\ x_2-x_0& y_2-y_0& z_2-z_0\end{array}\right)=0$$

Se il determinante è nullo i tre punti sono allineati.

Fascio di piani

Note

L’insieme dei piani passanti per una retta $r$ è detto fascio di piani di centro $r$ Se la retta ha equazione

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\end{array}$$

Allora un piano di equazione $ax+by+cz=d$ appartiene al fascio di piani di centro $r$ se e solo se

$$\text{rk}\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& c_1& d_1\\ a_2& b_2& c_2& d_2\\ a& b& c& d\end{array}\right)=2$$

Da cui otteniamo

$$ax+by+cz-d=\lambda (a_1,b_1,c_1,d_1)+\mu (a_2,b_2,c_2,d_2)$$

Questa equazione è detta equazione del fascio di piani in quanto al variare di $(\lambda ,\mu )\ne \overrightarrow{0}$ descrive tutti i piani appartenenti al fascio.

Example

Considero il punto $P=(1,1,1)$ e la retta

$$\{\begin{array}{l}2x+y-z=1\\ x+y+2z=0\end{array}$$

Il piano cercato appartiene al fascio di piani con centro $r$ e quindi la sua equazione ha forma

$$\lambda (2x+y-z-1)+\mu (x+y+2z)=0$$

Imponiamo il passaggio per $P=(1,1,1)$ e troviamo $\lambda +4\mu =0$ Ponendo $\mu =1$ (deve essere diverso da 0) si trova $\lambda =-4$, quindi l’equazione del piano è

$$-7x-3y+6z=-4$$