Parallelismo

Note

Due spazi affini in ${\mathbb{R}}^n$ si dicono paralleli se la giacitura di uno è contenuta nella giacitura dell’altro.

Ad esempio la retta $r=P+L(v)$ è parallela al piano $\alpha =Q+L(v_1,v_2)$ se e solo se

$$r||\alpha ⟺L(v)\subset L(v_1,v_2)$$

Spazi affini

Le rette e i piani vengono anche chiamati spazi affini. Se $S=P_0+V$ è uno spazio affine allora lo spazio $V$ è chiamato giacitura di $S$.

La dimensione di uno spazio affine è la dimensione della sua giacitura

• Le rette sono spazi affini di dimensione uno
• I piani sono spazi affini di dimensione due
• La massima dimensione in ${\mathbb{R}}^n$ è $(n-1)$

Due rette in due dimensioni

Note

Considero due rette $r,s$ nel piano in forma vettoriale:

$$r=P+tvs=Q+tuv=l\overrightarrow{i}+m\overrightarrow{j}u=l^{\prime }\overrightarrow{i}+m^{\prime }\overrightarrow{j}$$

Che hanno equazione cartesiana

$$r:ax+by=cs:a^{\prime }x+b^{\prime }y=c^{\prime }$$ $$r||s⟺\det \left(\begin{array}{cc}l& m\\ l^{\prime }& m^{\prime }\end{array}\right)=0⟺\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ a^{\prime }& b^{\prime }\end{array}\right)=0$$

Due piani in tre dimensioni

Note

I piani di equazione $\alpha :ax+by+cz=d$ e $\beta :a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1$ sono paralleli se hanno la stessa giacitura, quindi se e solo se

$$\alpha ||\beta ⟺\text{rk}\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a_1& b_1& c_1\end{array}\right)=1$$

Due rette in tre dimensioni

Note

Date le rette $r,s$ nello spazio di equazione cartesiana

$$r:\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\end{array}s:\{\begin{array}{l}{a}_1^{\prime }x+b_1^{\prime }y+c_1^{\prime }z=d_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }x+b_2^{\prime }y+c_2^{\prime }z+d_2^{\prime }\end{array}$$

Le rette sono parallele se e solo se:

$$r||s⟺\text{rk}\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_1^{\prime }& b_1^{\prime }& c_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }& b_2^{\prime }& c_2^{\prime }\end{array}\right)=2$$

Retta e piano in tre dimensioni

Note

Dato il piano $\alpha$ e la retta $r$ di equazione:

$$r:ax+by+cz=d\alpha =\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\end{array}$$

Il piano e la retta sono paralleli se e solo se

$$r||\alpha ⟺\det \left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right)=0$$

Piano con fascio di piani

Example

Calcolare l’equazione di un piano passante per la retta $r$ e parallelo alla retta $s$

$$r:\{\begin{array}{l}2x+y-z=1\\ x+y+2z=0\end{array}s:\{\begin{array}{l}-x+2y+z=1\\ x+y+z=-1\end{array}$$

L’equazione del fascio di piani è

$$\lambda (2x+y-z-1)+\mu (x+y+2z)=0$$

Imponiamo la condizione del parallelismo con $s$:

$$\det \left(\begin{array}{ccc}2\lambda +\mu & \lambda +\mu & -\lambda +2\mu \\ -1& 2& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=0\Rightarrow 7\lambda -3\mu =0$$

Scegliendo dei valori arbitrari troviamo l’equazione del piano cercato.