Ortogonalità

Ortogonalità rette nel piano

Considero due rette in equazione cartesiana con vettori normali $\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\prime }}$

$$r:ax+by+c=0\overrightarrow{n}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}s:a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\overrightarrow{n^{\prime }}=a^{\prime }\overrightarrow{i}+b^{\prime }\overrightarrow{j}$$ $$r:\{\begin{array}{l}x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\end{array}s:\{\begin{array}{l}x=x_0^{\prime }+l^{\prime }t\\ y=y_0^{\prime }+m^{\prime }t\end{array}$$

• Rette in equazione cartesiana

$$r\perp s⟺\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{n^{\prime }}=0\Rightarrow a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }=0$$

• Rette in equazione parametrica

$$v_r=\left(\begin{array}{c}l\\ m\end{array}\right)v_s=\left(\begin{array}{c}{l}^{\prime }\\ m^{\prime }\end{array}\right)$$ $$r\perp s⟺v_r\cdot v_s=0⟺l{l}^{\prime }+m{m}^{\prime }=0$$

• Parametrica e l’altra in cartesiana

$$r\perp s⟺\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ l& m\end{array}\right)=0$$

Ortogonalità piano-piano

Due piani sono ortogonali se e solo se i vettori normali sono ortogonali e quindi se i due piani hanno equazione cartesiana

$$\alpha :a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\overrightarrow{n_{\alpha }}=a_1\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+c_1\overrightarrow{k}$$ $$\beta :a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\overrightarrow{n_{\beta }}=a_2\overrightarrow{i}+b_2\overrightarrow{j}+c_2\overrightarrow{k}$$

Allora sono ortogonali se e solo se

$$\overrightarrow{n_{\alpha }}\cdot \overrightarrow{n_{\beta }}=a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2=0$$

Ortogonalità piano-retta

Un piano e una retta sono ortogonali se il vettore normale al piano è parallelo al vettore direzione della retta. Se sia la retta che il piano sono dati mediante la loro equazione cartesiana.

$$\alpha :ax+by+cz=dr:\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\end{array}$$

Allora la condizione di ortogonalità si ricava dal fatto che $\overrightarrow{n_{\alpha }}$ deve essere su una giacitura della retta $r$, quindi $\overrightarrow{n}$ deve essere soluzione del sistema:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}a+b_{1}b+c_{1}c=0\\ a_{2}a+b_{2}b+c_{2}c=0\end{array}$$

Ortogonalità retta-retta nello spazio

Due rette si dicono ortogonali se sono incidenti e i rispettivi vettori direzione sono ortogonali. Se le rette sono date in forma vettoriale

$$r=P+tvs=Q+tw$$

allora sono ortogonali se e solo se

$$\text{rk}(A,b)<4v\cdot w=0$$

Intersezione tra due piani

Note

Considero la retta descritta dall’intersezione di due piani

$$r:\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2\end{array}$$

Il vettore direzione della retta $r$ è

$$\overrightarrow{v}=(a_1\overrightarrow{i}+b_1\overrightarrow{j}+c_1\overrightarrow{z})\wedge (a_2\overrightarrow{i}+b_2\overrightarrow{j}+c_2\overrightarrow{k})$$