Distanza fra spazi affini

Note

Indichiamo con $d(P,Q)$ la distanza tra due punti, quindi:

$$d(P,Q)=||\overrightarrow{PQ}||$$

Dati due spazi affini $A,B$ nel piano o nello spazio si definisce la distanza $d(A,B)$ come la minima distanza tra i punti di $A$ e quelli di $B$. In simboli

$$d(A,B)=\underset{P\in A,Q\in B}{\min }(d(P,Q))$$

Se $A=P+U$ e $B=Q+W$ sono spazi affini con giaciture $U,W$ rispettivamente allora:

$$d(A,B)=||p_{(U+W{)}^{\perp }}(\overrightarrow{PQ})||$$

Distanza punto-retta nel piano

Note

Sia $r$ la retta di equazione $ax+by+c=0$. Siccome $\overrightarrow{n}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}$ è un vettore normale alla retta allora la distanza da $P_0$ a $r$ è:

$$d(P_0,r)=||p_{\overrightarrow{n}}(\overrightarrow{P{P}_0})=\frac{|\overrightarrow{P{P}_0}\cdot \overrightarrow{n}|}{||\overrightarrow{n}||}$$

Esplicitando $P=(x,y)$, $P_0=(x_0,y_0)$, $\overrightarrow{n}=a\overrightarrow{i}+b\overrightarrow{j}$:

$$d(P_0,r)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Distanza punto-piano

Note

Consideriamo un punto $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ e un piano $\alpha :ax+by+cz=d$ in ${\mathbb{R}}^3$, la formula della distanza diventa

$$d(P_0,\alpha )=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Distanza piano-piano paralleli

Note

Considero due piano paralleli ${\alpha }_1,{\alpha }_2$:

$${\alpha }_1:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_1{\alpha }_2:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_2$$

La formula della distanza tra i due piani paralleli è

$$d({\alpha }_1,{\alpha }_2)=\frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Distanza retta-retta sghembe

Note

Date due rette sghembe in forma vettoriale:

$$r:P=P_0+tvs:P=Q_0+tv$$

Si ha che la minima distanza tra le due rette è la proiezione $\overrightarrow{P_0{Q}_0}$ di lungo un vettore ortogonale sia a $v$ che a $w$ Da questa osservazione si ricava la formula generale

$$d(r,s)=\frac{|\overrightarrow{P_0{Q}_0}\cdot (v\wedge w)|}{||v\wedge w||}$$

Se consideriamo le rette in forma parametrica:

$$r:\{\begin{array}{l}x=x_0+tl\\ y=y_0+tm\\ z=z_0+tn\end{array}s:\{\begin{array}{l}x=x_0^{\prime }+t{l}^{\prime }\\ y=y_0^{\prime }+t{m}^{\prime }\\ z=z_0^{\prime }+t{n}^{\prime }\end{array}$$

Allora la formula diventa

$$d(r,s)=\frac{|\det \left(\begin{array}{ccc}{x}_0^{\prime }-x_0& y_0^{\prime }-y_0& z_0^{\prime }-z_0\\ l& m& n\\ l^{\prime }& m^{\prime }& n^{\prime }\end{array}\right)|}{\sqrt{(m{n}^{\prime }-m^{\prime }n{)}^2+(l{n}^{\prime }-l^{\prime }n{)}^2-(l{m}^{\prime }-l^{\prime }m{)}^2}}$$

Distanza punto-retta nello spazio

Note

Dato un punto $P$ e una retta in forma vettoriale $r=P_0+tv$, allora la distanza del punto dalla retta è data da:

$$||\overrightarrow{P_{0}P}||\sin \theta$$

Dove $\theta$ è l’angolo minimo tra i vettori $\overrightarrow{P_{0}P}$ e $\overrightarrow{v}$. La formula per trovare la distanza punto retta in ${\mathbb{R}}^3$ è

$$d(P,r)=\frac{||\overrightarrow{P_{0}P}\wedge v||}{||v||}$$

Principio di ortogonalità

Note

Sia $V$ uno spazio vettoriale e sia $(v\cdot w)$ un prodotto scalare su $V$. Sia $U$ un sottospazio di $V$. Allora, dato $v\in V$, il vettore $U$ che minimizza la distanza da $v$ è la proiezione ortogonale di $v$ su $U$. Questo vettore è unico ed è definito come

$$\underset{u\in U}{\min }||v-u||=||v-p_U(v)||=||p_{U^{\perp }}(v)$$