Codifica di numeri reali

Note

È impossibile rappresentare con precisione un numero reale, possiamo rappresentare soltanto un valore simile utilizzando i numeri razionali.

È possibile valutare la precisione della rappresentazione $V_{\text{rappr}}$ rispetto al valore reale $V_{\text{reale}}$ tramite l’utilizzo di errore assoluto e relativo:

$${\text{Err}}_{\text{Ass}}=V_{\text{rappr}}-V_{\text{reale}}{\text{Err}}_{\text{Rel}}=\frac{{\text{Err}}_{\text{Ass}}}{V_{\text{vero}}}$$

Di seguito mostriamo due approcci per la rappresentazione di numeri reali.

Notazione a virgola fissa

Note

Nella notazione a virgola fissa è stabilito a priori il numero di cifre destinate alla parte intera e alla parte fissa.

La parte intera è data dal numero di valori interi rappresentabili, mentre la parte frazionaria è data dalla precisione che si vuole ottenere nella rappresentazione.

Se consideriamo una linea dei numeri discreta, la distanza tra valori è data da $\frac{1}{k^2}$, dove $k$ è il numero di bit dati alla parte frazionaria.

In questa notazione l’errore assoluto ${\text{Err}}_{\text{Ass}}$ è costante, mentre l’errore relativo ${\text{Err}}_{\text{Rel}}$ decresce al crescere che si vuole rappresentare.

Conversione da base $b$ a base $10$ frazionaria

Per convertire da base $b$ base $10$ si usa la seguente formula:

$$\sum _{i=-k}^{n-1}{c}_1\cdot b^i$$

Dove $k$ è il numero di bit dati alla parte frazionaria, $n$ è il numero di bit totali, $i$ è il numero della cifra partendo dalla parte meno significativa, e $b$ è la base in cui convertire.

Conversione da base $10$ a base $b$ frazionaria

Per convertire un numero razionale da base $10$ a base $b$, si procede così:

1. Si converte la parte intera con divisioni successive per $b$.
2. Si converte la parte frazionaria moltiplicando ripetutamente per $b$ e prendendo la parte intera ad ogni passo.
3. Se un resto si ripete, la parte frazionaria è periodica.

Notazione a virgola mobile

Note

La notazione a virgola mobile ci permettere di creare un compromesso tra la dimensione dei valori e la loro precisione permettendo di spostare la virgola. Per ottenere questo effetto si utilizza la notazione scientifica:

$$\text{valore}=\text{segno}\cdot \text{mantissa}\cdot {\text{base}}^{\text{esponente}}$$

Abbiamo quindi:

$$\underset{\text{segno}}{\underbrace{0}}\underset{\text{esponente}-e}{\underbrace{00000000}}\underset{\text{mantissa}}{\underbrace{00000000000000000000000}}$$

Il bit del segno si comporta come in notazione modulo segno, mentre l’esponente è shiftato di metà del suo valore meno uno ($e=2^{\text{bit esponente}-1}-1$).

In notazione scientifica un numero è detto normalizzato quando: $1\le \text{mantissa}<\text{base}$, però in base binaria abbiamo solo una cifra che non è zero, quindi dalla mantissa omettiamo la parte intera.

In questa notazione l’errore relativo ${\text{Err}}_{\text{Rel}}$ è costante mentre l’errore assoluto ${\text{Err}}_{\text{Ass}}$ cresce al crescere del valore che si vuole rappresentare.

Per stabilire il numero di cifre dedicate a ogni parte utilizziamo lo standard IEEE 754, secondo il quale esiste la rappresentazione a virgola mobile a singola precisione (float) e a doppia precisione (double).

Per rappresentare tali valori in modo coinciso solitamente si usa la base 16.

Quando la parte esponente è impostata tutta a $1$ significa che si vogliono esprimere dei valori speciali:

• $M=0$: Dal bit del segno intendiamo $+\infty$ o $-\infty$.
• $M\ne 00$: Non definito ($\text{NaN}$).

Questi valori esistono per rappresentare il risultato di un operazione che ha dato come risultato un valore non rappresentabile, cioè al di fuori dal campo di rappresentabilità o dato da un operazione senza senso ($\frac{0}{0}\infty -\infty 0\cdot \infty$).