Sistemi di controllo digitale

Note

Piuttosto che usare un regolatore analogico, più conveniente usare un regolatore digitale, che si compone di un campionatore , un regolatore e un mantenitore . L’obiettivo è rendere questo sistema il più vicino possibile ad un regolatore analogico.

Trasformata zeta

Note

Sia un segnale campionato. Definiamo la sua trasformata zeta come:

Questa è una funzione fratta:

Proprietà

Siano , e . Si ha che la trasformata zeta è lineare:

Sia , e la sua trasformata. Si ha che:

Funzione di trasferimento a tempo discreto

Note

Sia un sistema a tempo discreto caratterizzato da:

Dalla trasformata zeta possiamo ricavare che:

Dove è la funzione di trasferimento a tempo discreto.

Vale ancora che tutti i poli sono autovalori della matrice , pertanto:

Rappresentazione esterna nel tempo

Sia:

Tramite l’antitrasformata zeta è possibile trovare la rappresentazione esterna nel tempo:

Discretizzazione di

Note

Supponiamo di voler discretizzare un integratore con , con

Possiamo ricavare che:

E di conseguenza che:

Si ha che:

Campionatore

Note

Quando campioniamo un segnale utilizziamo il teorema di Shannon per costruire il segnale campionato, e utilizziamo un filtro anti aliasing per ridurre il rumore:

Con e generalmente .

Teorema di Shannon

Dato un segnale di banda esso è univocamente ricostruibile dalla sua versione campionata se: