Modelli lineari tempo-invarianti a tempo continuo

Note

Consideriamo un modello lineare tempo-invariante a tempo continuo:

$$\{\begin{array}{l}\stackrel{\circ }{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

Equilibri

L’equilibrio è dato dall’equazione:

$$\overline{x}=-A^{-1}B\overline{u}⟺A\text{ invertibile}⟺\text{Rk}(A)=n$$

Principio di Sovrapposizione degli Effetti (PSE)

Definiamo due movimenti:

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}x(t_0)=x_1(\cdot )\\ u_1(t)\end{array}|⟹\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ y_1(t)\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x(t_0)=x_2(\cdot )\\ u_2(t)\end{array}|⟹\begin{array}{c}{x}_2(t)\\ y_2(t)\end{array}\end{array}$$

Se definiamo:

$$\{\begin{array}{l}x(t)=\alpha x_1(\cdot )+\beta x_2(\cdot )\\ u(t)=\alpha u_1(t)+\beta u_2(t)\end{array}$$

Allora:

$$\{\begin{array}{l}x(t)=\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)\\ y(t)=\alpha y_1(t)+\beta y_2(t)\end{array}$$

Dimostrazione

Consideriamo:

$$\begin{array}{rl}\stackrel{\circ }{x}& =Ax(t_0)+Bu(t_0)\\ & =A(\alpha x_1(\cdot )+\beta x_2(\cdot ))+B(\alpha u_1(\cdot )+\beta u_2(\cdot ))\\ & =A(\alpha x_1(\cdot )+\beta u_1(\cdot ))+B(\alpha x_2(\cdot )+\beta u_2(\cdot ))\\ & =\alpha {\stackrel{\circ }{x}}_1(\cdot )+\beta {\stackrel{\circ }{x}}_2(\cdot )\end{array}$$

Movimento libero o forzato

Note

Considerato un movimento:

$$\{\begin{array}{l}x(t_0)=x_0\\ u(t)\end{array}|⟹\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}$$

Definiamo il suo movimento libero come:

$$\{\begin{array}{l}{x}_L(t_0)=x_0\\ u_L(t)=0\end{array}|⟹\begin{array}{c}{x}_L(t)\\ y_L(t)\end{array}$$

Definiamo inoltre il suo movimento forzato come:

$$\{\begin{array}{l}{x}_L(t_0)=0\\ u_L(t)=u\end{array}|⟹\begin{array}{c}{x}_F(t)\\ y_F(t)\end{array}$$

Per il PSE si ha che si ha che:

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}x(t_0)=x_L(t_0)+x_F(t_0)\\ u(t)=u_F(t_0)+u_L(t_0)\end{array}⟹x(t)=x_L(t)+x_F(t) \\ y(t) \end{gathered}$$

Studio del movimento

Note

Sia $\stackrel{\circ }{x}(\tau )=ax(\tau )+bu(\tau )a,b\in \mathbb{R}$. Per calcolare $x(t)$, dati $x(t_0)=x_0$ e $u(t)$ usiamo l’equazione di Lagrange:

$$x(t)=\underset{x_L(t)}{\underbrace{e^{a(t-t_0)}x(t_0)}}+{\int }_{t_0}^{t}b{e}^{a(t-\tau )}u(\tau )\text{ d}\tau$$

Nel caso vettoriale, quindi con $\stackrel{\circ }{x}(\tau )=Ax(\tau )+Bu(\tau )A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$. Si ha quindi che:

$$x(t)=\underset{x_L(t)}{\underbrace{e^{A(t-t_0)}x(t_0)}}+{\int }_{t_0}^{t}B{e}^{A(t-\tau )}\cdot u(\tau )\text{ d}\tau$$

Con:

$$x_L(t)={\gamma }_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+\cdots +{\gamma }_{1\mu }{e}^{{\lambda }_{\mu }t}$$

Dove ${\lambda }_i\in \mathbb{C}$ sono gli autovalori di $e^{At}$, e $e^{{\lambda }_i}t$ modi propri del sistema.

Dimostrazione

Il caso lineare è dimostrato qui. Per quanto riguarda il caso vettoriale, ricordando che $A^k=T^{-1}{A}_0^{k}T$, con $A_0$ matrice diagonale. Per la definizione di matrice esponenziale possiamo dire che:

$$e^{At}=A^{A_{0}t}=\text{diag}(e^{{\lambda }_{1}t},\cdots ,e^{{\lambda }_{\mu }t}){\lambda }_i\in \mathbb{C}$$

Quindi il movimento libero diventa:

$$x_L(t)=x_0{e}^{At}=T^{-1}{e}^{A_{0}t}T$$

Analizziamo un modo qualsiasi di un sistema. Si ha che:

$${\lambda }_i=\alpha +j\omega ⟺e^{{\lambda }_{i}t}=e^{(\alpha +j\omega )t}=e^{\alpha t}\left(\cos (\omega t)+j\sin (\omega t)\right)$$

Possiamo dire che:

• Per $\alpha =0$ allora il modo è limitato.
• Per $\alpha <0$ si ha che il modo converge a $0$.
• Per $\alpha >0$ si ha che il modo diverge.

Caso generale

Abbiamo finora visto il caso diagonalizzabile. Nel caso di non diagonalizzabilità si può usare la forma di Jordan. In questo caso si usa la regola generale, dove i modi propri corrispondenti ad un autovalore ${\lambda }_i$ con $n_i<g_i$ sono:

$$e^{{\lambda }_{i}t},t{e}^{{\lambda }_{i}t},\cdots t^{n_i-g_i}{e}^{{\lambda }_{i}t}$$

In questo caso per $\alpha \ge 0$ il modo diverge, mentre per $\alpha <0$ il modo converge a $0$.

Si ha quindi che il movimento libero:

• Converge a $0$ se e solo se $\text{Re}({\lambda }_i)<0\forall i=1,\cdots ,\mu$.
• È limitato quando $\{\begin{array}{ll}\text{Re}({\lambda }_i)<0& n_i\ne g_i\\ \text{Re}({\lambda }_i)=0& n_i=g_i\end{array}\forall i=1,\cdots ,\mu$
• Diverge quando $\exists {\lambda }_i\text{t.c.}\text{Re}({\lambda }_i)>0$ oppure $\exists {\lambda }_i\text{t.c.}\text{Re}({\lambda }_i)=0n_i>g_i$.

Tempo del sistema

Consideriamo un generico sistema con $x_L(t)=x_0{e}^{at}$, si ha che per $a<0$ questo converge a $0$. Per studiare in quanto tempo $x_L(t)$ raggiunge l’$\epsilon \%$ del valore iniziale si impone:

$$x_L(\overline{t})=x_0{e}^{a\overline{t}}=\frac{\epsilon x_0}{100}$$

Risolvendo questa equazione si nota che:

$$\overline{t}=\frac{\left|\log \left(\frac{\epsilon }{100}\right)\right|}{|a|}=\tau \left|\log \left(\frac{\epsilon }{100}\right)\right|$$

Con $\tau$ costante di tempo del sistema.

Stabilità

Note

Sia $x(t)$ un generico movimento, e $\stackrel{\sim }{x}(t)$ il suo movimento perturbato. Si ha che $x(t)$ è stabile se e solo se:

$$\forall \epsilon >0\exists \delta ||x_0-{\stackrel{\sim }{x}}_0||<\delta ,||\underset{e^{At}(x_0-{\stackrel{\sim }{x}}_0)=\delta x_0\cdot e^{At}}{\underbrace{x(t)-\stackrel{\sim }{x}(t)}}||<\epsilon$$

Si ha che se $\delta x_0\cdot e^{At}$ è limitato oppure tende a zero, allora $x(t)$ è stabile. Alternativamente se $\delta x_0\cdot e^{At}$ diverge allora $x(t)$ è instabile.

La stabilità di $x(t)$ dipende solamente dagli autovalori ${\lambda }_i$, e quindi possiamo definire il seguente criterio:

$$\begin{array}{rl}\text{Sistema asintoticamente stabile}& ⟺\text{Re}({\lambda }_i)<0\forall i=1,\cdots ,\mu \\ \text{Sistema instabile}& ⟺\exists {\lambda }_i\text{t.c.}\text{Re}({\lambda }_i)>0\end{array}$$

Inoltre, per sistemi asintoticamente stabili, se per $t\to \infty$ si ha $x_L(t)\to 0$, allora $x(t)\to x_F(t)$.

Equilibri

Se $\det (A)=\sum _{i=1}^{\mu }{\lambda }_i^{n_i}\ne 0$ allora $A$ è invertibile, e pertanto:

$$\exists !\overline{x}=-A^{-1}B\overline{u}$$

Con $\overline{x}$ equilibrio asintoticamente stabile. Si ha quindi che per $x_0\ne \overline{x}$ e $u(t)=\overline{u}$:

$$x(t)-\overline{x}\stackrel{t\to +\infty }{\to }0$$

Si ha inoltre, che per sistemi asintoticamente stabili, se $u(t)$ è limitato in ampiezza $|u(t)|\le \overline{u}$, allora anche $x_F(t)$ lo è. In questo caso la stabilità è detta bounded-input bounded-state (BIBS).

Stabilità asintotica

Note

Dal criterio per stabilità asintotica $\text{Re}({\lambda }_i)\forall i=1,\cdots ,\mu$ possiamo definire i seguenti criteri:

$$\begin{array}{rlr}\text{tr}(A)& =\sum _{i=1}^{\mu }{n}_i{\lambda }_i<0& \text{necessaria non sufficiente}\\ \text{sgn}(\det (A))& =(-1{)}^n& \text{necessaria non sufficiente}\\ & & \\ \text{segni del polinomio }& \text{caratteristico concordi}& \text{necessaria non sufficiente}\\ & & \\ \text{criterio }& \text{di Routh}& \text{necessaria e sufficiente}\end{array}$$

Criterio di Routh

Sia dato il polinomio caratteristico di una matrice $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$:

$$\det (\lambda I-A)=a_0{\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_n$$

Si crea da questo la tabella di Routh-Hurwitz, una tabella definita in modo ricorsivo da $a_{i}i=0,\cdots ,n$. Questa è triangolare ed è composta da $n+1$ righe. Le prime due righe sono composte da:

$$\begin{array}{cccc}{a}_0& a_2& a_4& \cdots \\ a_1& a_3& a_5& \cdots \end{array}$$

Date le due righe precedenti queste si definiscono nel seguente modo:

$$\begin{array}{ccccc}{h}_1& h_2& h_3& h_4& \cdots \\ k_1& k_2& k_3& k_4& \cdots \\ l_1& l_2& l_3& \cdots & \end{array}{l}_i=-\frac{1}{k_1}\det \left(\begin{array}{cc}{h}_1& h_{i+1}\\ k_1& k_{i+1}\end{array}\right)$$

In caso $k_1=0$ allora la tabella si dice non ben definita.

Il numero di cambiamenti di segno della prima tabella è pari al numero di autovalori ${\lambda }_i$ con $\text{Re}({\lambda }_i)>0$

Una volta definita la tabella, il sistema è asintoticamente stabile se e solo se:

$$\text{Sistema asintoticamente stabile}⟺\{\begin{array}{l}\text{Tabella ben definita}\\ \text{Coefficienti della prima colonna di segno concorde}\end{array}$$

Modelli equivalenti

Note

Siano un modello:

$$\{\begin{array}{l}\stackrel{\circ }{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\end{array}$$

E sia $\stackrel{\sim }{x}=Qx$ con $Q$ matrice invertibile. Si ha quindi che:

$$\{\begin{array}{l}\stackrel{\stackrel{\circ }{\sim }}{x}=\stackrel{\sim }{A}\stackrel{\sim }{x}+\stackrel{\sim }{B}u\\ y=\stackrel{\sim }{C}\stackrel{\sim }{x}+\stackrel{\sim }{D}u\end{array}$$

Dove $\stackrel{\sim }{A}=QA{Q}^{-1}$, $\stackrel{\sim }{B}=QB$, $\stackrel{\sim }{C}=C{Q}^{-1}$ e $\stackrel{\sim }{D}=D$.

Notiamo che $\stackrel{\sim }{A}=QA{Q}^{-1}$ implica la similitudine di $A$ e $\stackrel{\sim }{A}$ e pertanto hanno gli stessi modi propri. Inoltre, se $Q=T$ allora $\stackrel{\sim }{A}$ è $A$ diagonalizzata.