Modelli a tempo discreto

Note

I modelli a tempo discreto sono modelli descritti da equazioni di stato del tipo:

$$x(t+1)=f(x(t),u(t),t)t\in \mathbb{N}$$

Nel caso lineare tempo invariante allora questa diventa:

$$x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)t\in \mathbb{N}$$

Equilibri

Nei sistemi tempo invarianti fissiamo $u(t)=\overline{u}\forall t$, e quindi $x(t+1)=f(\overline{x},\overline{u})$.

Nei modelli lineari si ha:

$$\overline{x}=A\overline{x}+B\overline{u}$$

E quindi l’equilibrio esiste se e solo se $I-A$ è invertibile:

$$\overline{x}=(I-A{)}^{-1}B\overline{u}⟺\det (I-A)=\prod _{i=1}^{\mu }(1-{\lambda }_i{)}_i^n\ne 0$$

Movimenti

Nei sistemi lineari tempo invarianti, fissati $x(0)=x_0$ e $u(t)\forall t$, possiamo dire che:

$$x(t)=\underset{\text{Movimento libero}}{\underbrace{A^t{x}_0}}+\underset{\text{Movimento forzato}}{\underbrace{\sum _{i=0}^{t-1}{A}^{t-i-1}Bu(i)}}$$

Definiamo il movimento perturbato come il movimento con stesso $u(t)$ e $x(0)={\stackrel{\sim }{x}}_0\ne x_0$:

$$\stackrel{\sim }{x}(t)=A^t{\stackrel{\sim }{x}}_0+\sum _{i=0}^{t-1}{A}^{t-i-1}Bu(i)$$

Notando che:

$$x(t)-\stackrel{\sim }{x}(t)=A^t(x_0-{\stackrel{\sim }{x}}_0)$$

Nel caso scalare possiamo dire che per $|a|>1$ allora $|\delta x(t)|$ diverge, per $|a|=1$ allora $\delta x(t)$ è limitato e per $|a|<1$ allora $\delta x(t)\stackrel{t\to +\infty }{\to }0$.

Nel caso vettoriale si trovano gli autovalori di $A^t$, detti modi ${\lambda }_i^t={\rho }_i^t{e}^{j\theta t}\in \mathbb{C}$. Quindi si studia la modulante reale di tutti ${\rho }_i^t$. Per ${\rho }_i>1$ ${\lambda }_i^t$ è divergente, per ${\rho }_i=1$ ${\lambda }_i^t$ è limitato e per ${\rho }_i<1$ ${\lambda }_i^t\stackrel{t\to +\infty }{\to }0$.

Nel caso non diagonalizzabile (${\lambda }_i$ con $n_i>g_i$) i modi saranno:

$${\lambda }_i^t,t{\lambda }_i^t,\cdots ,t^{n_i-g_i}{\lambda }_i^t$$

Nei nodi composti $t^k{\lambda }_i^t$, per ${\rho }_i\ge 1$ allora diverge, altrimenti per ${\rho }_i<1$ allora converge.

Quindi la condizione necessaria e sufficiente per l’asintotica stabilita è:

$$|{\lambda }_i|<1\forall i=1,\cdots ,\mu$$

Mentre per la condizione sufficiente per l’instabilità è:

$$\exists {\lambda }_i\text{t.c.}|{\lambda }_i|>1$$

Studio della stabilità

Note

Esistono diversi metodi per lo studio per l’analisi della stabilità di modelli a tempo discreto. Ricordando la forma del polinomio caratteristico:

$$p(\lambda )=\det (\lambda I-A)=a_0{\lambda }^n+a_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_n$$

Tra questi troviamo:

$$\begin{array}{rl}\left|\frac{a_1}{a_0}\right|<n\left|\frac{a_n}{a_0}\right|<1& \text{necessaria non sufficiente}\\ a_0\sum _{i=0}^n{a}_i>0& \text{necessaria non sufficiente}\\ a_0>a_1>\cdots >a_n>0& \text{sufficiente}\\ \sum _{i=1}^n|a_i|<a_0& \text{sufficiente}\\ \text{criterio di Jury}& \text{sufficiente}\end{array}$$

Criterio di Jury

Dopo aver definito il polinomio caratteristico si definisce la tabella di Jury, una tabella triangolare di $n+1$ righe costruita in modo ricorsivo, la prima riga sarà costituita da:

$$\begin{array}{ccccc}{a}_0& a_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}$$

La riga $k+1$-esima si costruisce dalla $k$-esima:

$$\begin{array}{ccccc}{k}_1& k_2& \cdots & k_{n-1}& k_n\\ l_1& l_2& \cdots & l_{n-1}& \end{array}{l}_i=\frac{1}{k_1}\det \left(\begin{array}{cc}{k}_1& k_{n-i+1}\\ k_n& k_i\end{array}\right)$$

Se $k_1=0$ allora la tabella si dice non ben definita.

Il criterio di Jury ci dice che il sistema è asintoticamente stabile se e solo se:

$$\{\begin{array}{l}\text{tabella ben definita}\\ \text{tutti i coefficienti hanno segno concorde}\end{array}$$

Per $n=2$, quindi $p(\lambda )={\lambda }^2+a\lambda +b$, si deve avere che:

$$\text{sistema asintoticamente stabile}⟺|a|<(1+b)$$

Linearizzazione

Note

Il processo di linearizzazione è analogo a quello in tempo continuo.