Modelli

Note

L’insieme di relazioni formali che esprimono, quantitativamente e qualitativamente, come le uscite sono influenzate dagli ingressi è detto modello del sistema.

Memoria di un computer

Siano:

• $m(t)$: Dati in ram.
• $a(t)$: Dati allocati all’istante $t$.
• $d_m(t)$: Dati deallocati all’istante $t$ in ram.
• $s(t)$: Dati sul disco.
• $d_s(t)$: Dati deallocati all’istante $t$ sul disco.
• $u(t)$: Dati spostati dalla memoria fisica alla memoria ram, manipolabile.

Possiamo definire l’equazione:

$$\{\begin{array}{ll}m(t+1)& =m(t)+a(t)-dm(t)+u(t)\\ s(t+1)& =s(t)-ds(t)-u(t)\end{array}t\in \mathbb{N}$$

Questa, siccome il tempo è discreto, è detta equazione alle differenze, e in forma matriciale è:

$$\left(\begin{array}{c}m(t+1)\\ s(t+1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}m(t)\\ s(t)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 1\\ 0& 0& -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a(t)\\ dm(t)\\ ds(t)\\ u(t)\end{array}\right)$$

Stato dei modelli

Note

Lo stato è una variabile, la cui conoscenza all’istante iniziale è necessaria per caratterizzare l’andamento delle variabili del sistema a fronte di un ingresso dato.

Le variabili di stato $x_1,\cdots ,x_n$ sono poste nel vettore $\overrightarrow{x}$, inoltre $n$ è detto ordine del sistema.

La forma dell’equazione di stato è:

$$\{\begin{array}{llc}\stackrel{\circ }{x}& =f(x(t),u(t),t)& \text{se }t\in \mathbb{R}\\ x(t+1)& =f(x(t),u(t),t)& \text{se }t\in \mathbb{N}\end{array}$$

La generica funzione $f$ dipende da $t$ se esistono parametri variabili nel tempo. La forma dell’equazione di uscita è invece:

$$y(t)=g(x(t),u(t),t)t\in \mathbb{R}\vee t\in \mathbb{N}$$

Definendo una condizione iniziale $x(t_0)=x_0$ e $u(t)\forall t$, è possibile simulare il sistema. Chiamiamo $x(t)$ movimento dello stato, e $y(t)$ movimento dell’uscita.

Equilibrio

Definiamo il movimento di equilibrio, per sistemi tempo-invarianti, come segue.

Dato un ingresso costante $u(t)=\overline{u}\forall t$, per modelli a tempo continuo, l’equilibrio è definito come:

$$\stackrel{\circ }{x}(t)=f(\overline{x},\overline{u})=0$$

Le soluzioni di questa equazione hanno cardinalità qualsiasi (Si possono avere dalla nessuna soluzione alle infinite soluzioni). Per i modelli a tempo discreto invece si ha:

$$\stackrel{\circ }{x}(t)=A\overline{x}+B\overline{u}=0⟺A\overline{x}=-B\overline{u}$$

Se $\text{Rk}(A)=n$ allora $\overline{x}=A^{-1}B\overline{u}$, altrimenti se $\text{Rk}(A)<n$ allora non esiste equilibrio. In caso di equilibrio questo è verificato se:

$$\overline{x}=f(\overline{x},\overline{u})$$

Classificazione dei modelli

Note

I modelli, secondo diversi criteri, possono essere:

• Tempo discreto se $t\in \mathbb{N}$, Tempo continuo se $t\in \mathbb{R}$.
• Ordine del modello: numero di variabili di stato $n$.
• Strettamente proprio se $g(x(t),u(t),t)=g(x(t),t)$, Proprio non strettamente altrimenti.
• Tempo invariante se $f(x(t),u(t),t)=f(x(t),u(t))$ e $g(x(t),u(t),t)=g(x(t),u(t))$, Tempo variante altrimenti.
• Lineare se $f(x(t),u(t),t)=A(t)\cdot x(t)+B(t)\cdot u(t)$ e $g(x(t),u(t),t)=C(t)\cdot x(t)+D(t)\cdot u(t)$, con $\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n$, $\vec{u}\in {\mathbb{R}}^m$ e $y\in {\mathbb{R}}^p$, e di conseguenza $A(t)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B(t)\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, $C(t)\in {\mathbb{R}}^{p\times n}$ e $D(t)\in {\mathbb{R}}^{p\times m}$, Non lineare altrimenti.
• Dinamico se ha variabili di stato, Statico altrimenti.
• SISO (Single Input - Single Output) se $m=p=1$, MIMO (Multiple Input - Multiple Output) altrimenti.

Stabilità di un modello

Note

Definiamo il movimento in esame $x(t)$:

$$\{\begin{array}{l}x(t_0)=x_0\\ u(t)\forall t\end{array}⟹x(t)t\in \mathbb{R}$$

Definiamo adesso un movimento perturbato, cioè il movimento definito con:

$$x(t_0)=\stackrel{\sim }{x_0}\ne x_0$$

Formalmente diciamo che, $x(t)$ è stabile se:

$$\begin{array}{rl}\forall \epsilon >0\exists \delta >0& \text{t.c.}\\ & \forall \stackrel{\sim }{x_0}\ne x_0||x_0-\stackrel{\sim }{x_0}||<\delta ⟹||x(t)-\stackrel{\sim }{x}(t)||<\epsilon \forall t\end{array}$$

Altrimenti $x(t)$ è instabile. Inoltre diciamo che $x(t)$ è asintoticamente stabile se $x(t)$ è stabile e:

$$||x(t)-\stackrel{\sim }{x}(t)||\stackrel{t\to \infty }{\to }0\forall x_0\in \text{Intorno di }{x}_0$$

Se l’intorno è ${\mathbb{R}}^n$ allora si parla di stabilità asintotica globale, altrimenti si parla di stabilità asintotica locale.