Trasformata di Laplace

Note

Sia un segnale complesso, con per . Definiamo la trasformata di Laplace:

Sia la funzione scalino definita come:

Possiamo dire che:

In generale per le trasformate consideriamo , dove è detta ascissa di convergenza.

Proprietà

Siano , e . Si ha che la trasformata di Laplace è lineare:

Sia , e la sua trasformata. Si ha che:

Trasformate di segnali notevoli

La trasformata di Laplace è razionale, e quindi:

Chiamiamo le radici di come zeri di , mentre chiamiamo le radici di come i poli di .

Teoremi della trasformata

Note

Sia , con aventi poli in oppure , e con grado di maggiore o uguale del grado di . Si ha che:

In caso abbia grado strettamente maggiore di , allora si ha che:

Questi sono detti rispettivamente teorema della risposta finale e teorema della risposta iniziale.

Antitrasformata

Note

Definiamo l’antitrasformata di una trasformata come:

Utilizzando il metodo dei fratti semplici è possibile evitare questa formula.

Metodo dei residui

Sia . Sapendo che , possiamo dire che:

Calcoliamo quindi: