Trasformata di Laplace

Note

Sia $f(t)\in \mathbb{C}$ un segnale complesso, con $f(t)=0$ per $t<0$. Definiamo la trasformata di Laplace:

$$F(s)=\mathcal{L}(f(t))={\int }_{0^{-}}^{+\infty }f(t)e^{-st}\text{ d}ts\in \mathbb{C}$$

Sia la funzione scalino definita come:

$$\text{sca}(t)=\{\begin{array}{ll}1& t\ge 0\\ 0& t<0\end{array}$$

Possiamo dire che:

$$F(s)={\int }_{0^{-}}^{+\infty }\text{sca}(t)e^{-st}\text{ d}t=\frac{1}{s}$$

In generale per le trasformate consideriamo $\text{Re}(s)>\overline{\sigma }$, dove $\overline{\sigma }$ è detta ascissa di convergenza.

Proprietà

Siano $f(t),g(t)\in \mathbb{C}$, e $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$. Si ha che la trasformata di Laplace è lineare:

$$\mathcal{L}(\alpha f(t)+\beta g(t))=\alpha \mathcal{L}(f(t))+\beta \mathcal{L}(g(t))$$

Sia $f(t)\in \mathbb{C}$, $\alpha \in \mathbb{C}$ e $F(s)$ la sua trasformata. Si ha che:

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(f(t-\tau ))& =e^{-s\tau }F(s)\\ \mathcal{L}(e^{\alpha t}f(t))& =F(s-\alpha )\\ \mathcal{L}(\stackrel{\circ }{f}(t))& =sF(s)-f(0)\\ \mathcal{L}\left({\int }_0^{t}f(\tau )\text{ d}t\right)& =\frac{1}{s}F(s)\\ \mathcal{L}(tf(t))& =-\frac{\partial }{\partial s}F(s)\end{array}$$

Trasformate di segnali notevoli

$$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(\text{sca}(t))& =\frac{1}{s}\\ \mathcal{L}(e^{\alpha t}\cdot \text{sca}(t))& =\frac{1}{s-\alpha }\alpha \in \mathbb{C}\\ \mathcal{L}(\cos (\omega t)\cdot \text{sca}(t))& =\frac{s}{s^2+{\omega }^2}\\ \mathcal{L}(\sin (\omega t)\cdot \text{sca}(t))& =\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}\\ \mathcal{L}(e^{\alpha t}\cos (\omega t)\text{sca}(t))& =\frac{s-\alpha }{(s-\alpha {)}^2+{\omega }^2}\\ \mathcal{L}(e^{\alpha t}\sin (\omega t)\text{sca}(t))& =\frac{\omega }{(s-\alpha {)}^2+{\omega }^2}\\ \mathcal{L}(t\cdot \text{sca}(t))& =\frac{1}{s^2}\end{array}$$

La trasformata di Laplace è razionale, e quindi:

$$F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$$

Chiamiamo le radici di $N(s)$ come zeri di $F(s)$, mentre chiamiamo le radici di $D(s)$ come i poli di $F(s)$.

Teoremi della trasformata

Note

Sia $F(s)=\mathcal{L}(f(t))$, con $F(s)$ aventi poli in $s=0$ oppure $\text{Re}(s)<0$, e con grado di $D(s)$ maggiore o uguale del grado di $N(s)$. Si ha che:

$$\underset{t\to +\infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0^{+}}{\lim }sF(s)$$

In caso $D(s)$ abbia grado strettamente maggiore di $N(s)$, allora si ha che:

$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=\underset{s\to +\infty }{\lim }sF(s)$$

Questi sono detti rispettivamente teorema della risposta finale e teorema della risposta iniziale.

Antitrasformata

Note

Definiamo l’antitrasformata di una trasformata $F(s)$ come:

$$f(t)={\mathcal{L}}^{-1}(F(s))=\frac{1}{2\pi j}{\int }_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }F(s)e^{st}\text{ d}s\sigma \in \mathbb{R}$$

Utilizzando il metodo dei fratti semplici è possibile evitare questa formula.

Metodo dei residui

Sia $F(s)=\frac{N(s)}{(s+p_1)\cdots (s+p_n)}{p}_i\ne p_j$. Sapendo che $\text{grado}(n)<\text{grado}(D)$, possiamo dire che:

$$F(s)=\frac{{\alpha }_1}{s+p_1}+\cdots \frac{a_n}{s+p_n}$$

Calcoliamo quindi:

$$F(s)\cdot (s+p_i){|}_{s=-p_i}={\alpha }_i$$