Proprietà dei gas perfetti

Note

Si ha che le relazioni costitutive dei gas perfetti sono: Possiamo inoltre scrivere la variazione di energia interna di un gas perfetto come: Con calore molare a volume costante e numero di moli di gas.

Dimostrazione

L'esperimento di Joule del 1844 ha dimostrato che, durante un'espansione libera di un gas (senza scambio né di calore né lavoro), la temperatura e quindi l'energia interna del gas rimangono invariate.

In particolare, si ha che il gas si espande liberamente da un recipiente all'altro, senza né compiere lavoro () né scambiare calore (). Inoltre non si osservano variazioni di temperatura (), e quindi per il primo principio della termodinamica, anche l'energia interna rimane costante (). Quindi, dato che il volume cambia ma l'energia interna no, si conclude che l'energia interna di un gas perfetto dipende solo dalla temperatura: Si ha quindi che le relazioni costitutive dei gas perfetti sono: La variazione di energia interna di un gas perfetto può essere poi dettagliata ulteriormente ricordando che in una trasformazione isocora, essendo nullo il lavoro, essa è uguale al calore scambiato: In realtà, nel caso dei gas, anziché il calore specifico si preferisce utilizzare il calore molare: Vale inoltre la relazione: Con massa molare. Perciò possiamo scrivere la variazione di energia interna di un gas perfetto come: Con calore molare a volume costante e numero di moli di gas.

Si ha per i gas monoatomici che: Mentre per i gas diatomici:

Relazione di Mayer

Note

La relazione di Mayer lega i valori del calore molare a pressione costante e a volume costante di un gas perfetto. È definita come: Essa comporta, in ogni caso, che e che anche non dipende dalla temperatura.

Dimostrazione

Studiamo una trasformazione di un gas perfetto che avviene tra due stati e alla stessa pressione, mantenendo sempre costante la pressione esterna . Se la pressione esterna è costante, il lavoro è definito come , per cui: Siccome : Se ne ricava allora: Applicando , ricaviamo la relazione di Mayer: Comporta che e che non dipende dalla temperatura.

Trasformazioni adiabatiche di gas perfetti

Note

Una trasformazione adiabatica quasistatica di un gas perfetto è un processo in cui non avviene scambio di calore con l’esterno (). Possiamo determinare le relazioni tra le variabili di stato sfruttando il Primo Principio della Termodinamica e l’equazione di stato dei gas perfetti. Queste sono dette equazioni di Poisson: Con .

Dimostrazione

Utilizzando l'espressione per nel caso di differenze infinitesime: Si può riscrivere la forma differenziale del Primo Principio come: Imponiamo allora che il calore scambiato sia nullo: In questa espressione compaiono tutte e tre le coordinate termodinamiche, ma come noto solo due di queste sono indipendenti. Applichiamo quindi l'equazione di stato dei gas perfetti, sostituendo: si ottiene: Dove è stato semplificato . A questo punto si integra tra uno stato iniziale e uno stato finale, si ricava: Da cui si conclude che in una tale trasformazione: Sostituendo , che nel caso di un gas perfetto è , si possono ricavare le equazioni di Poisson.

Poiché , dal Primo Principio:Se non sono note le temperature, ma sono noti pressione e volume iniziali e finali:

Trasformazioni politropiche

Note

Le trasformazioni politropiche sono definite da una legge del tipo Che, tramite l'equazione di stato dei gas perfetti, può essere scritta come: Dove per le trasformazioni adiabatiche , per le trasformazioni isoterme , per le trasformazioni isobare e per le trasformazioni isocore . Si ha che per queste trasformazioni in generale:

Dimostrazione

Applichiamo l'equazione per il calore molare di una trasformazione generica di un gas perfetto, e sostituiamo : Usando l'equazione dei gas perfetti ci riduciamo alle sole variabili e : Invertendo e derivando appropriatamente otteniamo: Che sostituendo nell'equazione precedente:

Si osserva inoltre che il calore molare di una qualsiasi politropica è costante, e da esso si può ricavare immediatamente il calore scambiato lungo la trasformazione: Applicando il primo principio della termodinamica: