Moti rotatori ad asse fisso

Dato un punto arbitrario e un corpo rigido, esistono almeno 3 assi passanti per per cui il momento è nullo. Questi si dicono assi di inerzia, e se il polo coincide con il centro di massa, si dicono assi centrali di inerzia.

Si ha che il momento angolare, in due generici istanti di tempo e , si conserva:

Dalla seconda equazione cardinale della dinamica, si ha: Scomponiamo quindi: Per quanto riguarda a : Dove è l'accelerazione angolare, quindi se il corpo resta in quiete oppure ruota con costante.
Ricaviamo: e : Osserviamo che se è costante, allora valgono le relazioni del MRUA.

Si ha che l'energia cinetica di un corpo rigido in moto rotatorio puro ad asse fisso è pari a: Inoltre, definiamo la potenza come:

Si ha che: Per un moto rotatorio puro ad asse fisso, , e quindi: Quindi, la variazione di energia cinetica totale: Calcolando la stessa quantità per una variazione infinitesima, si ha che: Questo perché , e .
Infine definiamo la potenza come:

Si ha che, per un solido omogeneo di densità uniforme, il momento di inerzia è calcolato come: Siccome è definito tramite sommatorie e integrali, il momento di inerzia è additivo.

Si ha che, per un solido omogeneo di densità uniforme, l'elemento di massa all'interno dell'integrale si può scrivere come . da cui:

Il momento di inerzia di un corpo rigido di massa , rispetto ad un asse posta a distanza dal centro di massa, è dato da: Dove è il momento di inerzia calcolato per un asse parallelo a e passante per il centro di massa.

Sia l'asse rispetto al quale vogliamo calcolare , e sia l'asse parallelo a passante per il centro di massa. Definiamo due sistemi di coordinate cartesiane con in modo che intersechino sia sia :

I quadrati della distanza di un punto qualsiasi di massa dall'asse e della distanza dello stesso punto dall'asse sono dati da: Dalla costruzione geometrica in figura è semplice ricavare che e :

Scrivendo ora il momento di inerzia relativo all'asse otteniamo: