Cinematica vettoriale

Note

La cinematica vettoriale è lo studio di un moto con legge oraria: È un metodo alternativo all'ascissa curvilinea per dare più dettaglio a un moto nel piano o nello spazio.

Il vettore posizione è definito come il segmento . Più nel dettaglio Siano e due istanti di tempo con , e e le rispettive posizioni nei due istanti di tempo. Lo spostamento è definito come:

Rappresentazione intrinseca

Note

In un generico punto , si introduce un versore , tangente alla traiettoria in quel punto, e un versore perpendicolare a e rivolto verso il centro di curvatura della traiettoria.
Il centro di curvatura è il centro di un cerchio tangente alla traiettoria in di raggio di curvatura tale da approssimare la traiettoria in .

center

Velocità istantanea vettoriale

Note

Sia un generico istante. Possiamo definire la velocità istantanea come: In base alla rappresentazione usata si calcola in modo diverso. In rappresentazione cartesiana: In rappresentazione intrinseca:

Dimostrazione

Si considerino i due istanti con , e le rispettive posizioni e , la velocità media è definita come: Facendo tendere a si ottiene: Che per definizione è la derivata di rispetto a .

In rappresentazione cartesiana si calcola con la regola del prodotto, e siccome i versori sono costanti si ottiene: In rappresentazione intrinseca:

Accelerazione istantanea vettoriale

Note

Sia un generico istante. Possiamo definire l'accelerazione istantanea come: In base alla rappresentazione usata si calcola in modo diverso. In rappresentazione cartesiana: In rappresentazione intrinseca:
Dove è l'accelerazione tangenziale, e è l'accelerazione centripeta.

Dimostrazione

Si considerino i due istanti con , e le rispettive velocità istantanee e , l'accelerazione media è definita come: Facendo tendere a si ottiene: Che per definizione è la derivata di rispetto a , e di conseguenza la derivata seconda di rispetto a .

In rappresentazione cartesiana si calcola con la regola del prodotto, e siccome i versori sono costanti si ottiene: In rappresentazione intrinseca: $è$ L'angolo creato tra due punti qualsiasi nella traiettoria è uguale all'angolo formato tra due loro e il centro di curvatura, e quindi, passando dal limite del rapporto incrementale di :

Problema inverso

Note

Il problema inverso vettoriale è analogo al problema inverso del moto rettilineo, cioè conoscendo o condizioni iniziali è possibile ricavare: Per risolvere tale problema è semplicemente necessario esprimere i vettori in rappresentazione cartesiana.

Moti Particolari

Moto Uniformemente Accelerato

Avendo un accelerazione costante , è possibile ricavare la velocità utilizzando il problema inverso: Analogamente, nota la velocità, è possibile ricavare la legge oraria:

Moto di un proiettile

Il moto di un proiettile è il moto di un corpo soggetto all'accelerazione di gravità: Se , e con velocità iniziale di modulo e angolo , possiamo assumere come legge oraria: E quindi velocità: