Moti rotatori ad asse fisso

Note

Si ha che:

$$\overrightarrow{L}=I_z\overrightarrow{\omega }\underset{{\overrightarrow{L}}_{\perp }}{\underbrace{-\omega \sum _i{m}_i{d}_i{\hat{u}}_d}}$$

Con $I_z=\sum _i{m}_i{d}_i^2$ detto momento di inerzia assiale.

Dimostrazione

Consideriamo un generico punto di massa $m_i$ con distanza $d_i$ dall’asse $z$. Siccome sta compiendo un moto circolare, e la velocità è tangente alla circonferenza, si ha che:

$${\overrightarrow{v}}_i=v\cdot {\hat{u}}_t=\omega d_i{\hat{u}}_t$$

Scegliendo un generico punto da origine, e l’angolo formato $\beta$ tra l’asse $z$ e il vettore posizione, si ha che:

$${\overrightarrow{v}}_i=\omega r_i\sin \beta {\hat{u}}_t=\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}_i$$

Si ha che il momento angolare del corpo rigido è pari a:

$$\overrightarrow{L}=\sum _i{\overrightarrow{r}}_i\times m_i{\overrightarrow{v}}_i$$

Definiamo la posizione come:

$${\overrightarrow{r}}_i=z_i{\hat{u}}_z+d_i{\hat{u}}_d$$

E quindi:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{L}& =\sum _i{m}_i\left(\left(z_i{\hat{u}}_t+d_i{\hat{u}}_d\right)\times \omega d_i{\hat{u}}_t\right)=\sum _i{m}_i(z_i\omega d_i(-{\hat{u}}_d)+\omega d_i^2{\hat{u}}_t)\\ & =\underset{{\overrightarrow{L}}_{\perp }}{\underbrace{-\sum _i\omega m_i{d}_i{\hat{u}}_d}}+\underset{{\overrightarrow{L}}_z}{\underbrace{\sum _i\omega m_i{d}_i^2{\hat{u}}_z}}\end{array}$$

Più nel dettaglio:

$${\overrightarrow{L}}_z=\underset{\overrightarrow{\omega }}{\underbrace{\omega {\hat{u}}_z}}\cdot \underset{\text{momento di inerzia assiale }{I}_z}{\underbrace{\left(\sum _i{m}_i{d}_i^2\right)}}=I_z\cdot \overrightarrow{\omega }$$

Teorema di Poinsot

Note

Dato un punto $O$ arbitrario e un corpo rigido, esistono almeno 3 assi passanti per $O$ per cui il momento ${\overrightarrow{L}}_{\perp }$ è nullo. Questi si dicono assi di inerzia, e se il polo $O$ coincide con il centro di massa, si dicono assi centrali di inerzia.

Conservazione del momento angolare

Note

Si ha che il momento angolare, in due generici istanti di tempo $t_1$ e $t_2$, si conserva:

$$I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$$

Dimostrazione

Dalla seconda equazione cardinale della dinamica, si ha:

$${\overrightarrow{M}}^E=\frac{\text{d}{\overrightarrow{L}}_z}{\text{d}t}+\frac{\text{d}{\overrightarrow{L}}_{\perp }}{\text{d}t}$$

Scomponiamo quindi:

$${\overrightarrow{M}}^E=M_z^E{\hat{u}}_z+M_{\perp }^E{\hat{u}}_{\perp }$$

Per quanto riguarda a ${\overrightarrow{M}}_z^E$:

$$M_z^E=\frac{\text{d}{L}_z}{\text{d}t}=\frac{\text{d}(I_z\omega )}{\text{d}t}=I_z\frac{\text{d}\omega }{\text{d}t}=I_z\alpha$$

Dove $\alpha$ è l’accelerazione angolare, quindi se ${\overrightarrow{M}}_z^E$ il corpo resta in quiete oppure ruota con $\omega$ costante. Ricaviamo: $\omega$ e $\theta$:

$$\alpha (t)=\frac{M^E(t)}{I}⟹\omega (t)={\omega }_0+{\int }_0^t\alpha \text{ d}t⟹\theta (t)={\theta }_0+{\int }_0^t\omega \text{ d}t$$

Osserviamo che se $\alpha$ è costante, allora valgono le relazioni del MRUA.

Teorema dell’energia cinetica e potenza

Note

Si ha che l’energia cinetica di un corpo rigido in moto rotatorio puro ad asse fisso è pari a:

$$E_k=\frac{1}{2}{I}_z{\omega }^2$$

Inoltre, definiamo la potenza come:

$$P=\frac{\text{d}{L}^E}{\text{d}t}={\overrightarrow{M}}^E\cdot \overrightarrow{\omega }$$

Dimostrazione

Si ha che:

$$E_k=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2$$

Per un moto rotatorio puro ad asse fisso, $v_i^2=|\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}_i{|}^2={\omega }^2{d}_i^2$, e quindi:

$$E_k=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{d}_i^2{\omega }^2=\frac{1}{2}{I}_z{\omega }^2$$

Quindi, la variazione di energia cinetica totale:

$$L^E=\Delta E_k=\frac{1}{2}{I}_z{\omega }_A^2-\frac{1}{2}{I}_z{\omega }_B^2$$

Calcolando la stessa quantità per una variazione infinitesima, si ha che:

$$\partial L^E=\text{d}{E}_k=I_z\omega \text{ d}\omega =I_z\omega \alpha \text{ d}t=I_z\alpha \text{ d}\theta =M_z^E\text{ d}\theta$$

Questo perché $\text{d}\omega =\alpha \text{ d}t$, $\text{d}\omega =\theta \text{ d}t$ e $M_z^E=I_z\alpha$. Infine definiamo la potenza come:

$$P=\frac{\text{d}{L}^E}{\text{d}t}=\frac{\text{d}{L}^E}{\text{d}\theta }\cdot \frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}={\overrightarrow{M}}^E\cdot \overrightarrow{\omega }$$

Calcolo del momento di inerzia

Note

Si ha che, per un solido omogeneo di densità uniforme, il momento di inerzia è calcolato come:

$$I=M\cdot \frac{\int d^2\text{ d}V}{V}$$

Siccome è definito tramite sommatorie e integrali, il momento di inerzia è additivo.

Dimostrazione

Si ha che, per un solido omogeneo di densità $\rho$ uniforme, l’elemento di massa $\text{d}m$ all’interno dell’integrale si può scrivere come $\text{d}m=\rho \text{ d}V$. da cui:

$$I=\int d^2\text{ d}m=\int d^2\rho \text{ d}V=\rho \int d^2\text{ d}V=M\cdot \frac{\int d^2\text{ d}V}{V}$$

I più comuni momenti di inerzia sono:

Forma	Asse di rotazione	Valore
Disco pieno	Perpendicolare al disco e passante per il centro

$$\frac{1}{2}m{R}^2$$

| | Sbarra rettangolare | Perpendicolare alla lunghezza e passante per il centro |

$$\frac{1}{12}m{L}^2$$

| | Sbarra rettangolare | Perpendicolare alla lunghezza e passante per un estremo |

$$\frac{1}{3}m{L}^2$$

| | Anello sottile | Perpendicolare all’anello e passante per il centro |

$$m{R}^2$$

		 |

Teorema di Huygens-Steiner

Note

Il momento di inerzia di un corpo rigido di massa $m$, rispetto ad un asse $z$ posta a distanza $D$ dal centro di massa, è dato da:

$$I_z=I_{CM}+m{D}^2$$

Dove $I_{CM}$ è il momento di inerzia calcolato per un asse parallelo a $z$ e passante per il centro di massa.

Dimostrazione

Sia $z$ l’asse rispetto al quale vogliamo calcolare $I$, e sia $z^{\prime }$ l’asse parallelo a $z$ passante per il centro di massa. Definiamo due sistemi di coordinate cartesiane con $y\equiv y^{\prime }$ in modo che intersechino sia $z$ sia $z^{\prime }$: I quadrati della distanza $d$ di un punto $P$ qualsiasi di massa $\text{d}m$ dall’asse $z$ e della distanza $d^{\prime }$ dello stesso punto dall’asse $z^{\prime }$ sono dati da:

$$\begin{array}{rl}{d}^2& =x^2+y^2\\ d^{\prime 2}& =x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\end{array}$$

Dalla costruzione geometrica in figura è semplice ricavare che $x=x^{\prime }$ e $y=y^{\prime }+D$:

$$\begin{array}{rl}{d}^2& =x^2+y^2=x^{\prime 2}+(y^{\prime }+D{)}^2=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+2D{y}^{\prime }+D^2\\ & =d^{\prime 2}+2D{y}^{\prime }+D^2\end{array}$$

Scrivendo ora il momento di inerzia relativo all’asse $z$ otteniamo:

$$I=\int d^2\text{ d}m=\underset{I_{CM}}{\underbrace{\int d^{\prime 2}\text{ d}m}}+\underset{0}{\underbrace{\int 2D{y}^{\prime }\text{ d}m}}+\underset{M{D}^2}{\underbrace{\int D^2\text{ d}m}}$$