Cinematica relativa

Note

Sia $S$ un sistema di riferimento inerziale caratterizzato da una coppia di assi coordinati $x$ e $y$ , e sia $S^{'}$ un sistema di riferimento in stato di moto relativo rispetto a $S$ caratterizzato da una coppia di assi coordinati $y^{'}$ e $x^{'}$ . Assumiamo di conoscere la velocità di $S^{'}$ rispetto all’origine di $S$ $V_{0^{'}}$ e la sua velocità angolare di $S^{'}$ $ω$ attorno a $O^{'}$ rispetto a $S$ . Osserviamo la posizione di un generico punto $P$ . Sia $r^{'}$ il vettore posizione di $P$ rispetto a $S^{'}$ , $r$ il vettore posizione di $P$ rispetto a $S$ , e $R$ il vettore posizione di $O^{'}$ rispetto a $S$ . Vale:
$r (t) = r^{'} (t) + R (t)$

Legge di trasformazione delle velocità

Note

È possibile esplicitare il legame di velocità tra sistemi di riferimento diversi con l’equazione:
$v^{'} = v - (v_{O^{'}} + ω \times r^{'})$
Dove $v_{τ} = v_{O^{'}} + ω \times r^{'}$ è detta velocità di trascinamento ed è definita come la velocità di un punto $P$ solidale a $S^{'}$ nel sistema di riferimento $S$ .

Dimostrazione

Sappiamo che $r^{'} = r - R$ , quindi per ricavare la velocità rispetto a $S$ :
$\frac{d r ^{'}}{d t}_{S} = \frac{d r}{d t}_{S} - \frac{d R}{d t}_{S}$
E quindi:
$\frac{d r ^{'}}{d t}_{S} = \frac{d}{d t} (x^{'} \overset{u}{^}_{x}^{'} + y^{'} \overset{u}{^}_{y}^{'}) = v^{'} \frac{d x ^{'}}{d t} \overset{u}{^}_{x}^{'} + \frac{d y ^{'}}{d t} \overset{u}{^}_{y}^{'} + x^{'} \frac{d u ^ _{x}^{'}}{d t} + y^{'} \frac{d u ^ _{y}^{'}}{d t} = v^{'} + x^{'} \frac{d θ}{d t} \overset{u}{^}_{θ} + y^{'} \frac{d θ}{d t} \overset{u}{^}_{θ} = v^{'} + x^{'} ω \overset{u}{^}_{θ} + y^{'} ω \overset{u}{^}_{θ} = v^{'} + x^{'} ω \times \overset{u}{^}_{x}^{'} + y^{'} ω \times \overset{u}{^}_{y}^{'} = v^{'} + ω \times (x^{'} \overset{u}{^}_{x}^{'} + y^{'} \overset{u}{^}_{y}^{'}) = v^{'} + ω \times r^{'}$
Dove $v^{'}$ è la velocità di $P$ in $S^{'}$ . Si ha quindi che:
$v^{'} + ω \times r^{'} = v - v_{O^{'}}$
E di conseguenza
$v^{'} = v - (v_{O^{'}} + ω \times r^{'})$

Legge di trasformazione delle accelerazioni

Note

È possibile esplicitare il legame di accelerazione tra sistemi di riferimento diversi con l’equazione:
$a^{'} = a - (a_{O^{'}} + ω \times ω \times r^{'} + α \times r^{'}) - 2 ω \times v^{'}$
Dove $a_{τ} = (a_{O^{'}} + ω \times ω \times r^{'} + α \times r^{'})$ è detta accelerazione di trascinamento e corrisponde all’accelerazione misurata in $S$ di $P$ in quiete su $S^{'}$ , mentre $a_{cor} = 2 ω \times v^{'}$ è detta accelerazione di Coriolis.

Dimostrazione

Sappiamo che $v^{'} = v - (v_{O^{'}} + ω \times r^{'})$ , quindi per ricavare la velocità rispetto a $S$ :
$\frac{d v ^{'}}{d t}_{S} = a \frac{d v}{d t}_{S} - a_{O^{'}} \frac{d v _{O^{'}}}{d t}_{S} - \frac{d}{d t} (ω \times r^{'})_{S}$
Dove $a$ è l’accelerazione di $P$ in $S$ , e $a_{O^{'}}$ è l’accelerazione di $O^{'}$ in $S$ . Quindi:
$\frac{d v ^{'}}{d t}_{S} = \frac{d v ^{'}}{d t}_{S^{'}} + ω \times v^{'} = a^{'} + ω \times v^{'}$
Infine calcoliamo:
$\frac{d}{d t} (ω \times v^{'}) = \frac{d ω}{d t}_{S} \times r^{'} + ω \times \frac{d r ^{'}}{d t}_{S} = α \times r^{'} + ω \times (v^{'} + ω \times r^{'})$
Unendo il tutto otteniamo:
$a^{'} + ω \times v^{'} = a - a_{O^{'}} - α \times r^{'} - ω \times v^{'} - ω \times ω \times r^{'}$
Che semplificato diventa:
$a^{'} = a - (a_{O^{'}} + ω \times ω \times r^{'} + α \times r^{'}) - 2 ω \times v^{'}$

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