Teorema dell'energia cinetica

Note

Il teorema dell’energia cinetica (o teorema delle forze vive) afferma che:

L_\overrightarrow{F} ^{AB}= E_{k}(B)-E_{k}(A)

Con:

$$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$$

Dimostrazione

Sia $\overrightarrow{F}$ la risultante delle forze applicate ad un punto materiale. Si ha che:

\begin{align*} L_\overrightarrow{F}^{AB}&= \int_{A}^{B}\overrightarrow{F}\cdot\text{d}\overrightarrow{r}=\int_{A}^{B}m\overrightarrow{a}\cdot\text{d}\overrightarrow{r}\\&=\int_{A}^{B}m\overrightarrow{v}\space'\cdot \overrightarrow{v}\text{ d}t= \int_{A}^{B}\frac{\text{d}}{\text{d}t} \left( \frac{1}{2}m||\overrightarrow{v}||^{2}\right)\text{ d}t\\&= \frac{1}{2}mv_{B}^{2}- \frac{1}{2}mv_{A}^{2}=E_{k}(B)-E_{k}(A) \end{align*}

Se sono in grado di calcolare $L_{\overrightarrow{F}}^{AB}$, il teorema offre la possibilità di determinare $\Delta E_k$. Se $L_{\overrightarrow{F}}^{AB}\ne 0⟺\Delta E_k\ne 0$

Energia potenziale

Note

Se $F$ è conservativa, allora:

L_\overrightarrow{F}^{AB}= U(A)-U(B)

Dove $U$ è l’energia potenziale, dipendente solo dalla posizione, associata alla forza $F$.

Tip

Una forza è detta conservativa quando il lavoro compiuto dalla forza non dipende dalla traiettoria. Il lavoro compiuto da una forza conservativa dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale.

Dimostrazione

Se $\overrightarrow{F}$ è conservativa, è possibile introdurre una funzione scalare $U$ definita come:

$$U(P)=U(O)-{\int }_O^P\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{r}$$

Dove $O$ è un punto generico nello spazio, e $U(O)$ è un valore arbitrario. Questa definizione ha senso perché l’integrale non dipende dal percorso. A questo punto:

$$\begin{array}{rl}{L}_{\overrightarrow{F}}^{AB}& ={\int }_A^B\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{r}={\int }_A^O\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{r}+{\int }_O^B\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{r}\\ & =\left[U(O)-{\int }_A^O\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{r}\right]-\left[U(O)-{\int }_O^B\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{r}\right]\\ & =U(A)-U(B)\end{array}$$

Si ha che la forza peso e la forza elastica sono conservative:

$$\begin{array}{rl}{L}_{m\overrightarrow{g}}^{AB}& =mg{y}_A-mg{y}_B=U_g(A)-U_g(B)\\ L_{-kx}^{AB}& =\frac{1}{2}k{x}_A^2-\frac{1}{2}k{x}_B^2=U_e(A)-U_e(B)\end{array}$$

Teorema di conservazione dell’energia meccanica

Note

Sia per ipotesi, la risultante di una forza composta da sole forze conservative. Definiamo la somma di tutte le energie potenziali e cinetica di un punto come energia meccanica. Si ha che essa si conserva attraverso il moto da un generico punto $A$ ad un generico punto $B$:

$$E_{\text{mecc}}(B)=E_{\text{mecc}}(A)$$

Con $E_{\text{mecc}}(P)=U(P)+E_k(P)$.

Dimostrazione

Sia $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$ la risultante di forze conservative:

$$\begin{array}{rl}{L}_{{\overrightarrow{F}}_1}^{AB}+L_{{\overrightarrow{F}}_2}^{AB}& =E_k(B)-E_k(A)=U_1(A)-U_1(B)+U_2(A)-U_2(B)\\ & \Rightarrow U_1(B)+U_2(B)+E_k(B)=U_1(A)+U_2(A)+E_k(A)\\ & \Rightarrow E_{\text{mecc}}(B)=E_{\text{mecc}}(A)\end{array}$$

In presenza di forze conservative, l’energia potenziale si trasforma in cinetica.

Nel caso in cui siano presenti anche forze non conservative il teorema di conservazione dell’energia meccanica afferma che se è presente una variazione di energia meccanica allora esiste una forza non conservativa il cui lavoro è diverso da zero:

$$\Delta E_{\text{mecc}}\ne 0⟺\exists {\overrightarrow{F}}_{\text{NonCons}}:L_{\overrightarrow{F}}^{AB}\ne 0$$

E di conseguenza il teorema, in caso siano presenti forze non conservative, afferma che:

$$\Delta E_{\text{mecc}}=L_{{\overrightarrow{F}}_{\text{NonCons}},\text{tot}}$$

Potenza di una forza

Note

Si definisce potenza di una forza come:

$$P(t)=\overrightarrow{F}(t)\cdot \overrightarrow{v}(t)[P]=\text{W}$$

Si ha che la potenza di un lavoro è:

$$P=\frac{L_{\overrightarrow{F}}^{\Delta \overrightarrow{r}}}{\Delta t}$$

Dimostrazione

$$P=\frac{\text{d}}{\text{d}t}L=\frac{\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{r}}{\text{d}t}=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}$$