Moto armonico

Note

Un moto armonico è un moto periodico con periodo $T$ di equazione:

$$x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$$

Dove $A$ è detta ampiezza, $\omega$ è detta pulsazione e $\phi$ è detta fase iniziale. Il periodo di oscillazione $T$ è definito come:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }$$

La frequenza dell’oscillazione è definito come:

$$f=\frac{1}{T}[f]=\text{Hz}$$

Tip

Il valore del periodo $T$ aumenta al crescere di $m$ e al decrescere di $k$.

È possibile ricavare i valori di $A$ e $\phi$ imponendo le condizioni:

$$\{\begin{array}{l}x(0)=x_0\\ v(0)=0\end{array}$$

Tip

In un moto armonico si ha che:

$$\{\begin{array}{l}x(t)=A\cos (\omega t+\phi )\\ v(t)=-\omega A\sin (\omega t+\phi )\\ a(t)=-{\omega }^{2}A\cos (\omega t+\phi )\end{array}$$

Si ha che tra le tre equazioni, si ha una quadratura di fase, e quindi sono sfasate di $\frac{\pi }{2}$.

Moto del pendolo

Note

Definiamo un pendolo come una massa $m$ vincolata ad una fune di massa $L$. Definiamo la legge oraria rispetto l’angolo come:

$$\theta =\theta (t)$$

Si ha che la legge oraria del moto è:

$$\theta (t)={\theta }_0\cos ({\omega }_{P}t){\omega }_P=\sqrt{\frac{g}{L}}$$

Con periodo:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

Dimostrazione

Come condizione iniziale del moto si ha che:

$$\{\begin{array}{l}\theta (0)={\theta }_0\\ {\theta }^{\prime }(0)=0\end{array}$$

Si ha una forza peso $m\overrightarrow{g}$ e una tensione della fune $T$. Si ha quindi, che l’equazione del moto, proiettata sulla base intrinseca è:

$$\overrightarrow{T}+m\overrightarrow{g}=m\overrightarrow{a}⟹\{\begin{array}{l}m{a}_n=||\overrightarrow{T}||-m||\overrightarrow{g}||\cos \theta \\ m{a}_t=-m||\overrightarrow{g}||\sin \theta \end{array}$$

Dall’equazione del moto tangenziale:

$$\begin{array}{rlr}& m{a}_t=-mg\sin \theta & ⟹\\ & -g\sin \theta =L\alpha & ⟹\\ & -g\sin \theta =L{\theta }^{\prime \prime }& \end{array}$$

Che è un equazione differenziale. Per l’ipotesi di piccola oscillazione, se $\theta <<1$, allora $\sin \theta \simeq \theta$. Allora:

$$-g\theta =L{\theta }^{\prime \prime }$$

Questa equazione è l’equazione di un moto armonico:

$${\theta }^{\prime \prime }+{\omega }_P^2\theta =0{\omega }_P=\sqrt{\frac{g}{L}}$$