Momento angolare

Note

Sia $\overrightarrow{r}$ la posizione di un punto materiale e $\overrightarrow{p}$ la sua quantità di moto. Definiamo il momento angolare come:

$$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$$

In generale il momento angolare è non nullo se il moto non è radiale ma ha una componente rotatoria.

È dimostrabile che la formula si può ridurre a

$$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times {\overrightarrow{p}}_{\perp }=rp\sin (\theta ){\hat{u}}_z$$

Dove $\theta$ è l’angolo formato tra la proiezione ${\overrightarrow{p}}_{\perp }$ e $\overrightarrow{p}$.

Momento angolare di una forza

Note

Sia $\overrightarrow{r}$ la posizione di un punto materiale e $\overrightarrow{F}$ una forza a cui è soggetto. Definiamo il momento angolare di una forza come:

$$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$$

Come in precedenza è possibile dimostrare che:

$$\overrightarrow{M}=rF\sin (\theta ){\hat{u}}_z$$

Seconda equazione cardinale della dinamica

Note

Si ha che la seconda equazione cardinale della dinamica vale:

$$\overrightarrow{M}=\frac{\text{d}\overrightarrow{L}}{\text{d}t}$$

Dimostrazione

Sia che:

$$\overrightarrow{F}=\frac{\text{d}\overrightarrow{p}}{\text{d}t}$$

Moltiplicando entrambi i membri vettorialmente per $\overrightarrow{r}$:

$$\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}=\overrightarrow{r}\times \frac{\text{d}\overrightarrow{p}}{\text{d}t}$$

Riguardo il primo membro, si ha che il momento delle risultante delle forze applicate equivale a:

$$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times ({\overrightarrow{F}}_1+\cdots +{\overrightarrow{F}}_n)={\overrightarrow{M}}_1+\cdots +{\overrightarrow{M}}_n$$

Riguardo al secondo membro abbiamo che:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\overrightarrow{L}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p})=\frac{\text{d}\overrightarrow{r}}{\text{d}t}\cdot \overrightarrow{p}+\overrightarrow{r}\times \frac{\text{d}\overrightarrow{p}}{\text{d}t}$$

E quindi si ha che:

$$\overrightarrow{M}=\frac{\text{d}\overrightarrow{L}}{\text{d}t}$$

Velocità areorale

Note

Definiamo la velocità areorale come l’area spezzata dal raggio vettore nell’intervallo di tempo $\text{d}t$:

$$\sigma =\frac{\text{d}A}{\text{d}t}[\sigma ]=\frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}$$

Teorema del momento dell’impulso

Note

Definiamo l’impulso del momento di una forza in un intervallo di tempo $t_1,t_2$:

$$I_{t_1,t_2}^{\overrightarrow{M}}={\int }_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{M}\text{ d}t$$

Sia $\overrightarrow{M}$ il momento della risultante delle forze applicate:

$$\overrightarrow{I}{}_{t_1,t_2}^{\overrightarrow{M}}=\overrightarrow{L}(t_2)-\overrightarrow{L}(t_1)$$

Dimostrazione

Sia $\overrightarrow{M}$ il momento della risultante delle forze applicate, si ha che:

$${\int }_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{M}\text{ d}t={\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\text{d}\overrightarrow{L}}{\text{d}t}\text{ d}t=\overrightarrow{L}(t_2)-\overrightarrow{L}(t_1)$$