Lavoro

Note

Il lavoro di una forza $\overrightarrow{F}$ su un punto materiale che copre uno spostamento finito da $A$ a $B$ è definito come:

$$L_{\overrightarrow{F}}^{AB}={\int }_A^B\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{r}[L]=\text{J}$$

Dimostrazione

Definiamo lo spostamento di un punto $P$ infinitesimale sulla sua traiettoria come:

$$\text{d}\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t+\text{dt})-\overrightarrow{r}(t)$$

Agisca quindi sul punto $P$ una forza $\overrightarrow{F}$. Definiamo il lavoro elementare di una forza come:

$$\text{d}L=\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{r}$$

Applicando questo concetto discretamente a una traiettoria da $A$ a $B$ si ha che:

$$L_{\overrightarrow{F}}^{AB}\simeq \underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^N\underset{\Delta L_k}{\underbrace{{\overrightarrow{F}}_k\cdot \Delta {\overrightarrow{r}}_k}}$$

Che continuamente è:

$$L_{\overrightarrow{F}}^{AB}={\int }_A^B\overrightarrow{F}\cdot \text{d}\overrightarrow{r}[L]=\text{N}\cdot \text{m}=\text{J}$$

Se il moto rettilineo e la forza $\overrightarrow{F}$ è costante, si ha che:

$$L_{\overrightarrow{F}}^{AB}=\overrightarrow{F}\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^N\Delta {\overrightarrow{r}}_k=\overrightarrow{F}\cdot \Delta \overrightarrow{r}$$

Se il lavoro di una forza è positivo, è detto lavoro motore, viceversa è detto resistente.

Calcolo dell'integrale di linea

$${\int }_A^{B}F={\int }_{x_A}^{x_B}{F}_x(x)\text{ d}x+{\int }_{y_A}^{y_B}{F}_y(y)\text{ d}y$$