Gravitazione universale

Note

Siamo due oggetti puntiformi di massa $M$ e $m$ posti ad una distanza $r$. Su questi corpi si esercita una forza centrale:

$${\overrightarrow{F}}_g=-G\frac{Mm}{r^2}{\hat{u}}_r$$

Con $G=6.67\cdot 10^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{Kg}}^2}$ costante di gravitazione universale, e versore ${\hat{u}}_r$ rivolto dalla massa $m$ a $M$, o viceversa.

Forza centrale

Definiamo come forza centrale una forza $\overrightarrow{F}$ conservativa rivolta sempre verso un punto fisso $O$ il cui modulo dipende solo dalla distanza:

$$\overrightarrow{F}=-f(r){\hat{u}}_r$$

Si ha che il momento di una forza centrale è sempre nullo rispetto ad $O$. Inoltre la sua velocità areorale è costante.

La forza peso non è altro che la forza gravitazionale:

$${\overrightarrow{F}}_g=G\frac{M_{T}m}{r^2}{\hat{u}}_n=G\frac{M_{T}m}{(R_T+h{)}^2}{\hat{u}}_n=m\overrightarrow{g}l<<r\simeq 6400\text{ Km}$$

Riguardo l’energia potenziale si ha che:

$$L_{{\overrightarrow{F}}_g}^{AB}=\left(-G\frac{Mm}{r_A}\right)-\left(-G\frac{Mm}{r_B}\right)=U_g(A)-U_g(B)$$

Leggi di Keplero

Note

Le leggi di Keplero affermano che:

1. I pianeti compiono orbite ellittiche attorno al sole con esso uno dei due fuochi.
2. Il raggio vettore che collega il sole al pianeta spazza aree uguali in tempi uguali (velocità areorale costante).
3. Il quadrato dei periodi di rivoluzione è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’ellisse ($T^2=k{R}^3$).

Moto orbitale

Note

Assegniamo a un punto materiale $P$ in orbita momento angolare $\overrightarrow{L}$ e energia meccanica $E_{\text{mecc}}$ costante. Si ha che se l’energia meccanica è positiva, avrà una traiettoria iperbolica, se l’energia meccanica è nulla avrà una traiettoria parabolica, e se è negativa avrà traiettoria ellittica. Inoltre se $E_{\text{mecc}}$ è pari al valore di energia potenziale efficace minima $U_{\text{eff}}=\frac{L^2}{2m{r}^2}-G\frac{Mm}{r}$ avrà traiettoria circolare.

Dimostrazione

Sia per ipotesi il momento angolare $\overrightarrow{L}$ costante:

$$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}=r{p}_{\perp }{\hat{u}}_z$$

Che in coordinate polari è:

$$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times (r^{\prime }{\hat{u}}_r+r{\theta }^{\prime }{\hat{u}}_{\theta })=m{r}^2{\theta }^{\prime }{\hat{u}}_z$$

Studiamo il moto al variare dell’energia meccanica $E$:

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{1}{2}m{v}^2-G\frac{Mm}{r}=\underset{E_{k,r}}{\underbrace{\frac{1}{2}m{r}^{\prime 2}}}+\underset{E_{k,t}}{\underbrace{\frac{1}{2}m{r}^2{\theta }^{\prime 2}}}-G\frac{Mm}{r}\end{array}$$

Abbiamo che:

$$E_{k,t}=\frac{1}{2}m{r}^2{\theta }^{\prime 2}\cdot \frac{r^2}{r^2}\cdot \frac{m}{m}=\frac{L^2}{2m{r}^2}$$

E quindi:

$$E=\frac{1}{2}m{r}^{\prime 2}+\frac{L^2}{2m{r}^2}-G\frac{Mm}{r}$$

Definiamo un energia potenziale efficace:

$$U_{\text{eff}}=\frac{L^2}{2m{r}^2}-G\frac{Mm}{r}⟹E=\frac{1}{2}m{r}^{\prime 2}+U_{\text{eff}}(r)$$

Consideriamo il caso in cui $E>0$, abbiamo che $r\ge r_{\min }$ e $E_{k,r}(r_{\min })=0$, e quindi $P$ può raggiungere $r\to \infty$ seguendo come traiettoria un iperbole. Consideriamo il caso in cui $E=0$, abbiamo che $r\ge r_a$, e $P$ può raggiungere $r\to \infty$ seguendo come traiettoria una parabola. Consideriamo il caso in cui $E<0$, abbiamo che $r_c\le r<<r_d$ e $P$ ha quindi ha una traiettoria ellittica con punto $c$ perielio e $d$ afelio. Infine, consideriamo il caso in cui $E=U_{\text{eff},\min }$ per cui la traiettoria è una circonferenza.