Cinematica vettoriale

Note

La cinematica vettoriale è lo studio di un moto con legge oraria:

$$\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t)\overrightarrow{r}\in {\mathbb{R}}^n$$

È un metodo alternativo all’ascissa curvilinea per dare più dettaglio a un moto nel piano o nello spazio.

Il vettore posizione $\overrightarrow{r}$ è definito come il segmento $\overline{OP}$. Più nel dettaglio

$$\overrightarrow{r}(t)=x(t){\hat{u}}_x+y(t){\hat{u}}_y$$

Siano $t_1$ e $t_2$ due istanti di tempo con $t_2>t_1$, e ${\overrightarrow{r}}_1=\overrightarrow{r}(t_1)$ e ${\overrightarrow{r}}_2=\overrightarrow{r}(t_2)$ le rispettive posizioni nei due istanti di tempo. Lo spostamento è definito come:

$$\Delta \overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Rappresentazione intrinseca

Note

In un generico punto $\overrightarrow{P}(t)$, si introduce un versore ${\hat{u}}_t$, tangente alla traiettoria in quel punto, e un versore ${\hat{u}}_n$ perpendicolare a ${\hat{u}}_t$ e rivolto verso il centro di curvatura della traiettoria. Il centro di curvatura è il centro di un cerchio tangente alla traiettoria in $\overrightarrow{P}(t)$ di raggio di curvatura $\rho$ tale da approssimare la traiettoria in $\overrightarrow{P}(t)$.

Velocità istantanea vettoriale

Note

Sia $t$ un generico istante. Possiamo definire la velocità istantanea come:

$$\overrightarrow{v}(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\overrightarrow{r}(t)[\overrightarrow{v}]=\frac{\text{m}}{\text{s}}$$

In base alla rappresentazione usata si calcola in modo diverso. In rappresentazione cartesiana:

$$\overrightarrow{v}(t)=\underset{v_x(t)}{\underbrace{x^{\prime }(t)}}{\hat{u}}_x+\underset{v_y(t)}{\underbrace{y^{\prime }(t)}}{\hat{u}}_y$$

In rappresentazione intrinseca:

$$\overrightarrow{v}(t)=|\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)|{\hat{u}}_t$$

Dimostrazione

Si considerino i due istanti $t_2,t_1$ con $t_2>t_1$, e le rispettive posizioni ${\overrightarrow{r}}_1$ e ${\overrightarrow{r}}_2$, la velocità media è definita come:

$$⟨\overrightarrow{v}⟩=\frac{{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}[⟨\overrightarrow{v}⟩]=\frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Facendo tendere ${\overrightarrow{r}}_2$ a ${\overrightarrow{r}}_1$ si ottiene:

$$\underset{t_2\to t_1}{\lim }\frac{{\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1}{t_2-t_1}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t}$$

Che per definizione è la derivata di $\overrightarrow{r}(t)$ rispetto a $t$.

In rappresentazione cartesiana si calcola con la regola del prodotto, e siccome i versori sono costanti si ottiene:

$$\overrightarrow{v}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\overrightarrow{r}(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(x(t){\hat{u}}_x+y(t){\hat{u}}_y)=x^{\prime }(t){\hat{u}}_x+y^{\prime }(t){\hat{u}}_y$$

In rappresentazione intrinseca:

$$\overrightarrow{v}(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\Delta \overrightarrow{r}|}{\Delta t}{\hat{u}}_t=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta t}{\hat{u}}_t=s^{\prime }(t){\hat{u}}_t$$

Accelerazione istantanea vettoriale

Note

Sia $t$ un generico istante. Possiamo definire l’accelerazione istantanea come:

$$\overrightarrow{a}(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\overrightarrow{v}(t)=\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{t}^2}\overrightarrow{r}(t)[\overrightarrow{a}]=\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$$

In base alla rappresentazione usata si calcola in modo diverso. In rappresentazione cartesiana:

$$\overrightarrow{a}(t)=\underset{a_x(t)}{\underbrace{v_x^{\prime }(t)}}{\hat{u}}_x+\underset{a_y(t)}{\underbrace{v_y^{\prime }(t)}}{\hat{u}}_y$$

In rappresentazione intrinseca:

$$\overrightarrow{a}(t)=|\overrightarrow{r}{}^{\prime \prime }(t)|{\hat{u}}_t+\frac{v^2}{\rho }{\hat{u}}_n$$

Dove $|\overrightarrow{r}{}^{\prime \prime }(t)|$ è l’accelerazione tangenziale, e $\frac{v^2}{\rho }$ è l’accelerazione centripeta.

Dimostrazione

Si considerino i due istanti $t_2,t_1$ con $t_2>t_1$, e le rispettive velocità istantanee ${\overrightarrow{v}}_1$ e ${\overrightarrow{v}}_2$, l’accelerazione media è definita come:

$$⟨\overrightarrow{a}⟩=\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}[⟨\overrightarrow{a}⟩]=\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$$

Facendo tendere $t_2$ a $t_1$ si ottiene:

$$\underset{t_2\to t_1}{\lim }\frac{{\overrightarrow{v}}_2-{\overrightarrow{v}}_1}{t_2-t_1}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$$

Che per definizione è la derivata di $\overrightarrow{v}(t)$ rispetto a $t$, e di conseguenza la derivata seconda di $\overrightarrow{r}(t)$ rispetto a $t$.

In rappresentazione cartesiana si calcola con la regola del prodotto, e siccome i versori sono costanti si ottiene:

$$\overrightarrow{a}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\overrightarrow{v}(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(v_x(t){\hat{u}}_x+v_y(t){\hat{u}}_y)=v_x^{\prime }(t){\hat{u}}_x+v_y^{\prime }(t){\hat{u}}_y$$

In rappresentazione intrinseca:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& =\frac{\text{d}}{\text{d}t}\overrightarrow{v}(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(|\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)|{\hat{u}}_t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}|\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)|\cdot {\hat{u}}_t+|\overrightarrow{r}{}^{\prime }(t)|\cdot \underset{\ne 0\text{ sse non eˋ costante}}{\underbrace{\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\hat{u}}_t}}\\ & =|\overrightarrow{r}{}^{\prime \prime }(t)|{\hat{u}}_t+\frac{v^2}{\rho }{\hat{u}}_n\end{array}$$

L’angolo creato tra due punti qualsiasi nella traiettoria è uguale all’angolo formato tra due loro e il centro di curvatura, e quindi, passando dal limite del rapporto incrementale di ${\hat{u}}_t$:

$$\begin{array}{rl}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\hat{u}}_t{|}_{t_1}& =\underset{t_2\to t_1}{\lim }\frac{{\hat{u}}_{t_2}-{\hat{u}}_{t_1}}{t_2-t_1}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta {\overrightarrow{u}}_t}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\Delta {\overrightarrow{u}}_t|}{|{\hat{u}}_t|\Delta t}{\hat{u}}_n\\ & =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\Delta \overrightarrow{r}|}{r_1}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\Delta s|}{r\Delta t}\\ & =\frac{v}{\rho }{\hat{u}}_n\end{array}$$

Problema inverso

Note

Il problema inverso vettoriale è analogo al problema inverso del moto rettilineo, cioè conoscendo ${\overrightarrow{v}}_0$ o ${\overrightarrow{r}}_0$ condizioni iniziali è possibile ricavare:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{v}(t)-{\overrightarrow{v}}_0& ={\int }_{t_0}^t\overrightarrow{a}(t)\text{ d}t\\ \overrightarrow{r}(t)-{\overrightarrow{r}}_0& ={\int }_{t_0}^t\overrightarrow{v}(t)\text{ d}t\end{array}$$

Per risolvere tale problema è semplicemente necessario esprimere i vettori in rappresentazione cartesiana.

Moti Particolari

Moto Uniformemente Accelerato

Avendo un accelerazione costante $\overrightarrow{a}=a_x{\hat{u}}_x+a_y{\hat{u}}_y$, è possibile ricavare la velocità utilizzando il problema inverso:

$$\overrightarrow{v}(t)={\overrightarrow{v}}_0+\overrightarrow{a}(t-t_0)$$

Analogamente, nota la velocità, è possibile ricavare la legge oraria:

$$\overrightarrow{r}(t)={\overrightarrow{r}}_0+{\overrightarrow{v}}_0(t-t_0)+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}(t-t_0{)}^2$$

Moto di un proiettile

Il moto di un proiettile è il moto di un corpo soggetto all’accelerazione di gravità:

$$\overrightarrow{g}=-9.81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}{\hat{u}}_y$$

Se ${\overrightarrow{r}}_0=0$, $t_0=0$ e con velocità iniziale ${\overrightarrow{v}}_0$ di modulo $||{\overrightarrow{v}}_0||$ e angolo $\alpha$, possiamo assumere come legge oraria:

$$\{\begin{array}{l}x=||{\overrightarrow{v}}_0||\cos (\alpha )t\\ y=||{\overrightarrow{v}}_0||\sin (\alpha )t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$$

E quindi velocità:

$$\{\begin{array}{l}{v}_x=||{\overrightarrow{v}}_0||\cos \alpha \\ v_y=||{\overrightarrow{v}}_0||\sin \alpha -gt\end{array}$$