Cinematica in coordinate polari

Note

La rappresentazione polare permette di rappresentare la legge oraria come

$$\overrightarrow{r}:\{\begin{array}{l}r=r(t)\text{ coordinata radiale}\\ \theta =\theta (t)\text{ coordinata angolare}\end{array}$$

Il legame tra la rappresentazione polare e cartesiana è il seguente:

$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$$

Definiamo quindi un versore radiale ${\hat{u}}_r$, parallelo al vettore, e un versore trasversale ${\hat{u}}_{\theta }$ perpendicolare al versore radiale.

Velocità in coordinate polari

Per definizione:

$$\overrightarrow{v}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\overrightarrow{r}$$

Introducendo un versore radiale:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}(r(t){\hat{u}}_r)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\overrightarrow{r}\cdot {\hat{u}}_r+r\cdot \frac{\text{d}}{\text{d}t}{\hat{u}}_r$$

Calcoliamo la derivata del versore:

$$\begin{array}{rl}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\hat{u}}_r& =\underset{t_2\to t_1}{\lim }\frac{{\hat{u}}_{t_2}-{\hat{u}}_{t_1}}{t_2-t_1}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta {\hat{u}}_r}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\Delta {\hat{u}}_r|}{|{\hat{u}}_r|\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\Delta \overrightarrow{r}|}{||{\overrightarrow{r}}_1||\Delta t}\\ & =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\Delta s|}{||{\overrightarrow{r}}_1||\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \theta }{\Delta t}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\theta (t)\end{array}$$

La quantità $r\cdot {\theta }^{\prime }(t)$ è detta componente trasversale della velocità. Quindi:

$$\{\begin{array}{l}{v}_r^{\prime }=r^{\prime }(t)\\ v_{\theta }^{\prime }=r(t)\cdot {\theta }^{\prime }(t)\end{array}$$

Moto circolare

Note

Un moto circolare è un moto la cui traiettoria è una circonferenza di raggio $R$. Possiamo usare un ascissa curvilinea:

$$\begin{array}{rlrl}s(t)& =R\cdot \theta (t)& [s]=\text{m}& [\theta ]=\text{rad}\\ v(t)& =R\cdot \omega (t)& [v]=\frac{\text{m}}{\text{s}}& [\omega ]=\frac{\text{rad}}{\text{s}}\\ a(t)& =R\cdot \alpha (t)& [v]=\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}& [\alpha ]=\frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}\end{array}$$

Definiamo lo spostamento angolare $\Delta \theta$ analogamente al moto rettilineo:

$$\Delta \theta ={\theta }_2-{\theta }_1$$

Definisco la velocità angolare media a istantanea come:

$$\begin{array}{rl}⟨\omega ⟩& =\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{t_2-t_1}[⟨\omega ⟩]=\frac{\text{rad}}{\text{s}}\\ \omega (t)& =\frac{\text{d}}{\text{d}t}\theta (t)\end{array}$$

Definisco l’accelerazione angolare media e istantanea come:

$$\begin{array}{rl}⟨\alpha ⟩& =\frac{{\omega }_2-{\omega }_1}{t_2-t_1}[⟨\alpha ⟩]=\frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}\\ \alpha (t)& =\frac{\text{d}}{\text{d}t}\omega (t)=\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{t}^2}\theta (t)\end{array}$$

Anche il problema inverso è analogo al moto rettilineo.

Moti circolari particolari

Moto Circolare Uniforme

Avendo un accelerazione nulla, si ha una velocità scalare costante ${\omega }_0\in \mathbb{R}$. È possibile quindi ricavare la legge oraria:

$$\theta (t)={\theta }_0+{\omega }_0(t-t_0)$$

In rappresentazione intrinseca possiamo dire che:

$$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{r}=-R{\hat{u}}_n\\ \overrightarrow{v}=v_0{\hat{u}}_t\\ \overrightarrow{a}=\frac{v_0^2}{\rho }{\hat{u}}_n\end{array}$$

Mentre in rappresentazione cartesiana:

$$\overrightarrow{r}=R\cos ({\omega }_{0}t){\hat{u}}_x+R\sin ({\omega }_{0}t){\hat{u}}_y$$

Moto Circolare non Uniforme

Avendo un accelerazione costante $a_0\in \mathbb{R}$, è possibile ricavare la velocità utilizzando il problema inverso:

$$\begin{array}{rl}v(t)& =v_0+a_0(t-t_0)\\ x(t)& =x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}{a}_0(t-t_0{)}^2\end{array}$$

Si ha che:

$$\{\begin{array}{l}s(t)=\frac{1}{2}{a}_0{t}^2\\ \theta (t)=\frac{1}{2}\alpha t^2\end{array}$$

Grandezze cinematiche angolari vettoriali

Note

Sia ${\hat{u}}_z$ il versore parallelo al piano del moto, orientato usando la regola della mano destra rispetto a $\theta$. È possibile descrivere un moto circolare con una grandezza vettoriale:

$$\overrightarrow{\omega }={\theta }^{\prime }(t){\hat{u}}_z$$

È immediato osservare che:

$$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}$$

Di conseguenza, derivando $\overrightarrow{v}$:

$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{r}+\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{v}$$