Cinematica del moto rettilineo

Note

La cinematica del moto rettilineo è lo studio della cinematica con legge oraria:

$$x=x(t)$$

Siano $t_1$ e $t_2$ due istanti di tempo con $t_2>t_1$, e $x_1=x(t_1)$ e $x_2=x(t_2)$ le rispettive posizioni nei due istanti di tempo. Lo spostamento è definito come:

$$\Delta x=x_2-x_1$$

Il segno dello spostamento determina se esso è concorde con l’asse.

Velocità

Note

Sia $t$ un generico istante. Possiamo definire la velocità istantanea come:

$$v(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}x(t)[v]=\frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Dimostrazione

Si considerino i due istanti $t_2,t_1$ con $t_2>t_1$, e le rispettive posizioni $x_1$ e $x_2$, la velocità media è definita come:

$$⟨v⟩=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}[⟨v⟩]=\frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Facendo tendere $t_2$ a $t_1$ si ottiene:

$$\underset{t_2\to t_1}{\lim }\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

Che per definizione è la derivata di $x(t)$ rispetto a $t$.

Accelerazione

Note

Sia $t$ un generico istante. Possiamo definire l’accelerazione istantanea come:

$$a(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}v(t)=\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{t}^2}x(t)[a]=\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$$

Dimostrazione

Si considerino i due istanti $t_2,t_1$ con $t_2>t_1$, e le rispettive velocità istantanee $v_1$ e $v_2$, l’accelerazione media è definita come:

$$⟨a⟩=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}[⟨a⟩]=\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$$

Facendo tendere $t_2$ a $t_1$ si ottiene:

$$\underset{t_2\to t_1}{\lim }\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta v}{\Delta t}$$

Che per definizione è la derivata di $v(t)$ rispetto a $t$, e di conseguenza la derivata seconda di $x(t)$ rispetto a $t$.

Problema inverso

Note

È possibile applicare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale per risalire dall’accelerazione alla velocità istantanea, conoscendo la condizione iniziale $v_0=v(t_0)$ dove $t_0$ è un istante generico fissato:

$$v(t)-v_0={\int }_{t_0}^{t}a(t)\text{ d}t$$

Analogamente, conoscendo la condizione iniziale $x_0=x(t_0)$ dove $t_0$ è un istante generico fissato:

$$x(t)-x_0={\int }_{t_0}^{t}v(t)\text{ d}t$$

Moti particolari

Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato

Avendo un accelerazione costante $a_0\in \mathbb{R}$, è possibile ricavare la velocità utilizzando il problema inverso:

$$v(t)=v_0+a_0(t-t_0)$$

Analogamente, nota la velocità, è possibile ricavare la legge oraria:

$$x(t)=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}{a}_0(t-t_0{)}^2$$

Moto di caduta libera

Il moto di caduta libera è un MRUA rivolto verso il basso, con accelerazione costante di:

$$g=9.81\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$$

Tutti i corpi in prossimità della superficie terrestre sono soggetti a questo moto.

Moto Rettilineo Uniforme

Avendo un accelerazione nulla, si ha una velocità costante $v_0\in \mathbb{R}$. È possibile quindi ricavare la legge oraria:

$$x(t)=x_0+v_0(t-t_0)$$

Ascissa curvilinea

Note

È possibile considerare un ascissa sdraiata su una curva per rappresentare moti non rettilinei con una legge oraria $s=s(t)$. Tutte le definizioni precedenti sono analoghe per l’ascissa curvilinea.