Risoluzione di circuiti RL e RC del primo ordine

Note

Un circuito RL o RC del primo ordine comprende un solo condensatore/induttore collegato ad una rete elettrica formata da soli componenti adinamici, lineari, tempo-invarianti e al più generatori indipendenti.

Processo di risoluzione

Nel caso del condensatore troviamo l'equivalente di Norton alla rete lineare, e ricaviamo tramite KCL l'equazione di stato del circuito: Nel caso dell'induttore troviamo l'equivalente di Thevenin alla rete lineare, e ricaviamo tramite KVL-II l'equazione di stato del circuito:

Equazioni di stato

Note

Per i circuiti del primo ordine, un'equazione di stato è un equazione differenziale ordinaria del primo ordine a coefficienti costanti. La risolviamo tramite il generico problema di Cauchy: Dove è la variabile di stato, è la frequenza libera () e sono gli ingressi.
La soluzione di questa equazione sarà:

Dimostrazione

La soluzione di un Problema di Cauchy di un EDO del primo ordine è una soluzione particolare dell'integrale generale del EDO che soddisfa le condizioni del sistema.

Per trovare l'integrale generale della EDO dobbiamo trovare la soluzione dell'omogenea associata, e la soluzione dell'integrale particolare. Cerchiamo la soluzione dell'omogenea associata: Si ha che la sua soluzione è: Affinché il circuito sia stabile () è necessario che la risposta libera si esaurisca nel tempo . Si ha quindi che per allora

Troviamo adesso la soluzione dell'integrale particolare, che è: L'integrale generale è dato dalla somma della soluzione dell'omogenea associata all'integrale particolare: Imponendo le condizioni iniziali otteniamo: E di conseguenza: