Tensione elettrica

Note

La tensione è il lavoro necessario per spostare la carica di prova $q$ da un punto $A$ a un punto $B$ lungo la curva $\gamma$ in una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico $\overrightarrow{E}$, normalizzato alla carica:

$$V_{AB}=\frac{L_{AB}^{\gamma }}{q}=-{\int }_{\gamma }\overrightarrow{E}\text{ d}\overrightarrow{l}$$

Dimostrazione

Sia $\text{d}{L}_1$ il lavoro necessario per spostare la carica lungo la curva $\gamma$ di una distanza infinitesimale nel generico punto $p_1$, allora si calcola come:

$$\text{d}{L}_1=q\cdot {\overrightarrow{E}}_1\cos ({\theta }_1)=-q\cdot {\overrightarrow{E}}_1\cdot \text{d}{\overrightarrow{l}}_1$$

Dove ${\overrightarrow{E}}_1$ è il valore del campo vettoriale nel generico punto $p_1$, e ${\theta }_1$ è l’angolo tra il punto $p_1$ e quello successivo nella curva. Possiamo approssimare il lavoro su tutta la curva come somma dei lavori infinitesimali:

$$L_{AB}^{\gamma }\simeq -q\sum _k{\overrightarrow{E}}_k\cdot \text{d}{\overrightarrow{l}}_k$$

Siccome $\text{d}{l}_k$ è infinitesimale:

$$L_{AB}^{\gamma }=-q{\int }_{\gamma }\overrightarrow{E}\text{ d}\overrightarrow{l}$$

Normalizzando rispetto alla carica di prova ottengo il valore di tensione tra $A$ e $B$.

Potenziale elettrico

Note

Sia $V_{BA}$ la tensione tra i punti $A$ e $B$ lungo un percorso $\gamma$ in una regione di spazio in cui è presente il campo elettrico $\overrightarrow{E}$, si definisce il potenziale elettrico come il valore di energia potenziale normalizzato alla carica:

$$q\cdot V_{BA}=q\underset{\text{diff. di potenziale}}{\underbrace{(V(B)-V(A))}}=\underset{\text{diff. di energia potenziale}}{\underbrace{W(B)-W(A)}}$$

Dimostrazione

Sia $\text{d}{L}_1$ il lavoro necessario per spostare la carica lungo la curva $\gamma$ di una distanza infinitesimale nel generico punto $p$.

Scompongo il vettore in una parte parallela al campo elettrico $\text{d}{\overrightarrow{l}}_{\parallel }$ e una parte perpendicolare $\text{d}{\overrightarrow{l}}_{\perp }$, quindi:

$$\text{d}\overrightarrow{l}=\text{d}{\overrightarrow{l}}_{\parallel }+\text{d}{\overrightarrow{l}}_{\perp }$$

Sappiamo che:

$$\text{d}L=-q\cdot \overrightarrow{E}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{qQ}{||\overrightarrow{r}|{|}^2}\hat{r}\cdot \left(\text{d}{\overrightarrow{l}}_{\parallel }+\text{d}{\overrightarrow{l}}_{\perp }\right)$$

Siccome $\hat{r}\cdot \text{d}{\overrightarrow{l}}_{\perp }=0$, e $\hat{r}\cdot \text{d}{\overrightarrow{l}}_{\parallel }=||\text{d}\overrightarrow{l}||\cos \theta =||\text{d}\overrightarrow{r}||$:

$$\text{d}L=-\frac{qQ}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{||\text{d}\overrightarrow{r}||}{r^2}$$

Quindi:

$$\begin{array}{rl}{L}_{AB}& =-\frac{qQ}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_A^B\frac{\text{d}r}{r^2}=\frac{qQ}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot {\left[\frac{1}{r}\right]}_A^B\\ & =\frac{qQ}{4\pi {\epsilon }_0{r}_B}-\frac{qQ}{4\pi {\epsilon }_0{r}_A}\\ & =W(B)-W(A)\\ & =q(V_B-V_A)=q\cdot V_{BA}\end{array}$$

Dove $W(P)$ è l’energia potenziale di $\overrightarrow{E}$, $V(P)$ potenziale elettrico, e $V_{BA}$ una differenza di potenziale (tensione).

Se il lavoro non dipende dal percorso, allora il campo elettrico $\overrightarrow{E}$ è conservativo. Si dimostra che se $\overrightarrow{E}$ è quasi stazionario, allora è conservativo.

Legge di Kirchhoff per le tensioni (KVL)

Note

Lungo una qualunque linea chiusa, la somma algebrica delle tensioni, prese con il segno opportuno in base al verso di percorrenza della linea, è nulla.

Dimostrazione

Sia ${\gamma }_1$ il percorso che porta da $A$ a $B$, e ${\gamma }_2$ il percorso che porta da $B$ as $A$. Sappiamo che:

$$\begin{array}{rl}{L}_{AB}^{{\gamma }_1}& =q(V_B-V_A)\\ L_{BA}^{{\gamma }_2}& =q(V_A-V_B)\end{array}$$

Sia quindi $\gamma ={\gamma }_1\cup {\gamma }_2$ il percorso chiuso. Si ha che $L^{\gamma }=L_{AB}^{{\gamma }_1}+L_{BA}^{{\gamma }_2}=0$. Per definizione:

$$-q{\oint }_{\gamma }\overrightarrow{E}\text{ d}\overrightarrow{l}=0$$

Quindi, in regime quasi stazionario, la circuitazione di $\overrightarrow{E}$ è nulla, e di conseguenza la tensione complessiva su una linea chiusa è pari a $0$.